教师主导 学生主体 探究主线 思维主心

贾军

【摘要】 笔者有幸参加了2018年南京市“一师一优课、一课一名师”市级录课活动，执教的是苏教版全日制普通高中教科书（数学选修1-1）的§3.3.3最大值与最小值一课.课标要求本节课：能利用导数求某些函数在给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值，体会导数与单调性、极值、最值的关系.这节课集中体现了数形结合、概括类比等重要的数学思想方法，教学重点是求闭区间上连续可导函数的最值，教学难点是搞清函数的最值与极值的区别与联系.因此，笔者把教学目标定为：理解函数的最值与极值的区别和联系;掌握用导数法求函数最大值与最小值的方法和步骤;培养学生的数学学科核心素养，获得“四基”、发展“四能”.

【关键词】 主导;主体;主线;主心

根据皮亚杰的建构主义认识论，本节课始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为主心”的教学思想，引导学生主动参与到课堂教学全过程中.为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学.对求函数的最值，高二学生已经具备了良好的知识基础，教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用.本节课的教学，大致按照“创设情境，铺垫导入——合作学习，探索新知——指导应用，鼓励创新——归纳小结，反馈回授”四个环节进行组织.

课前笔者准备了两题测试题，就函数的单调区间和极值问题让学生做一个知识的回顾.本节课，笔者首先设置一个问题情境：一道2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科第10题：函数y= x 2 -2sinx的图像大致是（  ）.给出了四个选项，让学生选择.教者通过函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、有界性等方面，和学生一起得到本题的解答.以一个高考真题引发思考，层層设问，有利于激发学生的兴趣，培养学生用数学解决高考问题的意识，同时营造出宽松、和谐、积极主动的课堂氛围，激发起学生的探究热情.

接着提出问题：如果不是通过函数的有关性质来筛选图形，而是让你大致画出一个非初等函数的图像，那又该怎么办？比如，你能大致作出函数f（x）= x 2 +sinx的图像吗？提出问题后，引导学生发现：用以前学习过的知识暂时不能解决问题，由此引出新课，使学生深感继续学习新知识的必要性，为进一步的研究做好铺垫.再由此引出课题：投影分析大家尝试所作的画图，可以看出，以前学过的画图方法在这里较难奏效（叠加法），相信有了本节课的学习，大家对函数的相关性质和图像就会做出很精准的判断了.

引入复习阶段，和学生一起回顾了函数极值的定义，讨论总结出四点注意事项，在此基础上得到求函数f（x）的极值的步骤：（1）求导数f′（x）;（2）求方程f′（x）=0的根;（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，求出极大值和极小值.通过对已有函数极值的定义、注意事项和求函数f（x）的极值的步骤等相关知识的回顾和深入分析，自然地提出问题：先前提到的函数能求出其在闭区间内的极值吗？两个端点值是什么？由此引入闭区间上的连续函数最大值和最小值的问题，又如，何能求得最大值和最小值？以问题制造悬念，引领着学生来到新知识的生成场景中.

对取得最大值和最小值的两种可能位置的结论，为使学生形成更深刻的印象，更好地进行发现，教学中通过改变区间位置，引导学生观察各种区间内图像上最大值最小值取得的位置变化，形成感性认识，进而上升到理性的高度.为新知的发现奠定基础后，提出教学目标，让学生带着问题走进课堂，既明确了学习目的，又激发起学生的求知热情.学生在合作交流的探究氛围中思考、质疑、倾听、表述，体验到成功的喜悦，学会学习、学会合作.

在要求学生画出函数f（x）= x 2 +sinx，x∈[0，2π]的大致图像前，通过对极值和端点值的求解，自然而然引入最值的概念.再媒体辅助，通过运用几何画板演示，画出了上述函数的图像，增强直观性，帮助学生迅速准确地发现相关的数量关系.在整个新知形成过程中，教师的身份始终是启发者、鼓励者和指导者，以提高学生抽象概括、分析归纳及语言表述等基本的数学思维能力.启发探究，探索出最大值和最小值存在的可能位置后，求法便呼之欲出，这时可以让学生给出求解步骤，既锻炼了他们的表达能力，更培养了他们的数学思维能力.

“问起于疑，疑源于思”，数学最积极的成分是问题，提出问题并解决问题是数学教学的灵魂.小试牛刀环节的两道小题，其目的是优化导数法求最大、最小值的解题过程，使得问题的解决更简单明快，更易于操作.特别是把区间进行了变化，让学生的应用能力得到锻炼，让其感受数学变化之美、能力要求之高.这一环节旨在培养学生的探究意识及创新精神，提高学生分析和解决问题的能力.通过合作交流，使学生发现并掌握极值与最值的区别与联系，感受领会从数到形的探究过程.对学生完成联系情况进行评价，使所有学生都体验到成功或得到鼓励，并据此调控教学.这样，很顺畅地得到利用导数求函数f（x）在区间[a，b]上最值的步骤.

例题的解决与本课的引例前后呼应，继续巩固用导数法求闭区间上连续函数的最值，同时也让学生体会到现实生活中蕴含着大量的数学信息，培养他们用数学的意识和能力.注意引导学生对照有关步骤，能正确表达、规范书写，同时结合图像，直观认识所得的结论.最后通过课堂小结，深化对知识理解，完善认识结构，领悟思想方法，强化情感体验，提高认识能力.课后环节，通过三道有关测试题对所学内容进行一个总结与反思，巩固旧知、提升能力、感悟方法、形成思维品质.