王俊胜
两直线的位置关系是平面解析几何初步的重要内容,也是高考中常考的重要知识点之一.为此我们对两直线的位置关系做了一些研究,望能给同学们的学习带来裨益.
剖析
证明此题仅仅说明它们的斜率相等还不够,还需说明它们在y轴上的截距不相等.
引申 如果直线l1:Ax+By+c=0,且直线l1//l2,那么直线l2的方程总可以写成Ax+By+C1=0(C1≠C).想一想,此结论是怎样得到的?
变式
求与直线3x+4y+l=0平行,且在两坐标轴上的截距之和为7/3的直线l的方程.
解析
设所求的直线 的方程为3χ+4y+t=0.当x=0时,y=-t/4; 当y=0时,x=—t/3·所以-t/3-t/4=7/3,即t=-4.故直线l 的方程为3x+4y-4=0.
例2
若直线ax+2y-1=0与直线x+(a-1)y+a2=0平行,则a=
错解
根据题意得a(a-1)=2,所以a=2或a=-l.
正解
根据题意得a(a-1)=2,所以a=2或以a=一l.
(l)当a=2时,直线2x+2y - 1=0與直线x+y+4=0平行;
(2)当a=一1时,直线-x+2y-l=0与直线x-2y+l=0重合,
综上,a=2.
点评
此题是同学们常错题,也是常考题型,望同学们引起关注.
例3 直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0垂直,则M的值为
根据题意得2m+3(m+1)=0,所以,m=一3/5.
引申1 如果直线l1:Ax+By+C=0,且直线l1⊥l2,那么直线l2de方程总可以写成Bx-Ay+C1=0
引申2 如果直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0满足l1⊥l2那么A1A2+B1B2=0.
例4 已知直线l1:x+ay-5=0和直线l2:ax+(a-2)y+1=0,当实数为何值时,l1⊥l2?
锚解
根据题意得-1/a·(-a/a-2)=-1,所以a=1.
正解
根据题意,由引申2结论得a+a(a-2)=0,所以a=1或a=0.