“4+”互动教学模式的实践与体会—以《直线与圆的位置关系(1)》为例

江苏省苏州市吴中区迎春中学(215128) 沈萍

为接待西藏校长培训班跟岗的学员们,笔者以《直线与圆的位置关系(1)》为例实践了“4+”互动课堂教学模式.“4”即四个基本教学环节: 预习自学,导学点拨,延伸探究,练习反馈.“+”指这四个基本环节可增可减,根据课堂实际需要进行增减.“互动”即通过教师与学生互动、学生与学生互动、学生与书本互动,使整个课堂活起来,从而达到有效教学.笔者在实践中以四个基本环节为基础,增加了创设情景环节.通过学生动手操作、合作交流、自主探究等,使学生在尝试中学习、在拓展中提升,让学生在轻松、愉快的课堂中学到知识.现以本节课为例,谈一下“4+”互动课堂教学模式下使数学课堂活起来的教学实践.

一、课堂实践亮点再现

1.创设情景

播放“海上日出”的视频并加入我国著名作家巴金写的一段话“山水相间的地方出现一道红霞,过了一会儿,那里出现了太阳的小半边脸,慢慢儿,一纵一纵地使劲儿向上升,到了最后,它终于冲破了云霞,完全跳出了海面”的音频(班长录音).请同学们欣赏这段视频,感受太阳升起的过程.

我们用数学的眼光来看这个自然现象,可以把太阳抽象成一个圆,把地平线抽象成一条直线.那么我们再次演示一下太阳升起的过程,感受一下直线和圆的位置变化(PPT 演示).

图1

设计意图借助媒体演示生活中的“海上日出”情景,激发学生的学习兴趣和热情,让学生在美的境界中进入学习状态.为接下来将生活中的问题数学化,即把太阳看成圆,把地平线看成直线,引出课题: 直线与圆的位置关系,做好准备.使学生体会到数学知识无处不在,应用数学无处不有.

2.预习自学

请同学们阅读课本P63-64 页,并回答以下两个问题:

(1)直线与圆有哪几种位置关系?

(2)可以用什么方法来判定直线与圆的位置关系?

设计意图阅读能力是体现学生数学素养的一个重要指标.让学生带着问题自学,一方面可以让学生初步了解本节课所学内容,带着问题听课,使听课效率有所提高;另一方面可以提高学生的数学阅读能力.通过预习自学,可以使学生对本堂课所学知识有初步的了解和认识,为接下来新课的学习提供了事半功倍的效果.

3.导学点拨

案例1动手操作

师: 请同学们拿出直尺,在画好的圆(课前准备好)上,上下移动直尺,如果把直尺的边缘看作一条直线,那么在直尺移动过程中,观察直线与圆的位置变化时,直线与圆的公共点个数如何变化? (演示)

生: 分别是直线与圆没有公共点,直线与圆有且只有一个公共点,直线与圆有两个公共点.因此直线与圆有三种位置关系,分类的依据是直线与圆的公共点的个数.

设计意图通过学生动手操作,让学生直观看到直线与圆的三种位置关系以及公共点个数的变化过程,由抽象到具体,可以使知识更加形象鲜明,为引出直线与圆相交、相切、相离的定义做准备.同时对学生渗透分类讨论的数学思想.

案例2感悟新知

直线与圆的位置关系: 直线与圆相交、相切、相离

(1)直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线.

(2)直线与圆有且只有一个公共点时,叫做直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点.

(3)直线与圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.

案例3尝试练习

(1)若一条直线上的所有点都在圆的外部,那么这条直线与圆的位置关系为(A)

A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定

(2)直线l 和⊙O 有公共点,则直线与⊙O 的位置关系为(D)

A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交

(3)看图判断直线l 与⊙O 的位置关系.

图2

设计意图通过“尝试练习”,巩固判定直线与圆的位置关系的方法,即利用公共点个数来判定直线与圆的位置关系.其中第3 题(5)发现公共点个数无法判定直线与圆的位置关系,从而为引出利用数量关系判定直线与圆位置关系做准备.

案例4类比探究

师: 如果公共点的个数不容易判断,该怎么办? 我们试着像研究点与圆的位置关系一样对直线与圆的位置关系进行数量分析,利用数量关系来判断直线与圆的位置关系.那么你觉得和哪些数量有关呢? 回顾一下点与圆的位置关系是用哪些数量来判断的?

生: 点与圆心的距离d 与半径r 的数量关系.当d ＜r时,点在圆内;当d=r 时,点在圆上;当d ＞r 时,点在圆外.

师: 那么直线与圆的位置关系又跟哪些数量有关呢?

小组讨论: 上下移动直尺,如果把直尺的边缘看作一条直线,那么在直尺移动过程中,哪个量在发生变化?

设计意图让学生再次动手演示,在演示过程中通过类比点与圆的位置关系可利用点到圆心的距离与半径的大小比较来判断,从而感受到直线与圆的位置关系也可以用圆心到直线的距离与半径大小比较来判断.从而为引出直线与圆相交、相切、相离的数量关系做准备.同时也可以对学生渗透分类讨论和数形结合的数学思想.得出利用数量关系来判断直线与圆的位置关系为教学难点,因此让学生进行小组讨论,可以突出学生的主体地位,从而使课堂活起来.

4.延伸探究

例1 在Rt△ABC 中, ∠C = 90°,AC = 3cm,BC = 4cm,以C 为圆心,r为半径的圆与AB 有怎样的位置关系?为什么?

图3

(1)r =2cm;(2)r =2.4cm;(3)r =3cm.

分析根据直线与圆的位置关系的数量特征,已知圆的半径,则可以考虑用圆心到直线的距离d 与半径r 进行大小比较,所以本题的关键是确定圆心C 到直线AB 的距离d,那么怎么求这个距离d?

设计意图巩固用数量关系来判定直线与圆的位置关系,尤其强调d 即圆心C 到直线AB 的距离.

例1 变式在Rt△ABC 中, ∠C = 90°, AC = 3cm,BC =4cm,以C 为圆心,r 为半径作圆.

①当r 满足________时,直线AB 与⊙C 相离.

②当r 满足________时,直线AB 与⊙C 相切.

③当r 满足________时,直线AB 与⊙C 相交.

教师变式

④当r 满足________时,线段AB 与⊙C 只有一个公共点.学生变式:

⑤当r 满足________时,线段AB 与⊙C 有两个公共点.

⑥当r 满足________时,线段AB 与⊙C 没有公共点.

分析④强调线段AB, 此时一个公共点有两种情况:(i)⊙C 与线段AB 相切;(ii)⊙C 与线段AB 相交,且只有一个交点,即A 在圆内,B 不在圆内(圆上或圆外).

⑤线段AB 与⊙C 有两个公共点,则线段AB 与⊙C相交,则点A、B 必不在圆内,由于A 离圆心近,所以只要保证点A 不在圆内,则点B 必不在圆内.

⑥线段AB 与⊙C 没有公共点有两种情况: (i)⊙C 与线段AB 相离;(ii)即A、B 都在圆内.

图4

课后思考: 如果改成射线AB 呢? r 的范围又会怎样?

设计意图例1 是用数量关系来判定直线与圆的位置关系, 而例1 变式是由位置关系来确定数量关系, 尤其④⑤⑥改为线段AB 后,难度加大,可以培养学生分析问题和解决问题的能力,以及提升学生的创新能力和实践能力.

二、几何概念的教学启示

1.创设生活情境,让课堂活起来

数学来源于生活,寓于生活,服务于生活.作为教师应该让学生眼中的数学成为一门看得见、摸得着、用得上的学科.教师在上课开始创设有效的学习情境,一方面可以充分激发学生的学习兴趣和探究欲望,另一方面也能让整个课堂活起来,从而开启学生的思维之旅,激发学生思维内驱力,让学生在富有情趣的情境中发现问题、思考问题和解决问题,为新知“铺路搭桥”.

本节课播放了“海上日出”的视频并加入我国著名作家巴金写的一段话,而这段话的声音来自所上班级的班长所录的音频,当学生们看到“海上日出”的美景、听到熟悉的同学声音,顿时全班同学的脸上露出了笑容,课堂氛围轻松活跃起来.在此轻松活跃的气氛中,把学生引入数学天地,将生活中的问题数学化,把太阳看成圆,把地平线看成直线,从而引入“直线与圆的位置关系”.因此创设生活情境,可以活跃课堂气氛,激活学生的求知欲,集中学生注意力,使学生看到数学也是门有趣的学科,从而激发对数学学习的兴趣.

2.动手操作探究,让课堂活起来

在学生的印象中记忆最深刻的是自己发现的,通过动手操作让学生动起来,可把抽象的理论直观化,能丰富学生的感性认识,能使学生在观察、分析的过程中茅塞顿开,情绪倍增,使他们认识到自己是学习的主人,让数学课堂活起来.

本节课在探索判断直线与圆位置关系的两种方法时,均让学生在画好的圆(课前准备好)上,上下移动直尺,在直尺移动过程中,观察: 在直线与圆的位置发生变化时,直线与圆的公共点个数如何变化? 数量关系如何变化? 通过学生自己动手探究,从而达到激发学生兴趣、培养学生创造思维能力的目的,并且能让学生在动手操作、探索反思中掌握新知识,调动学生的学习积极性和主动性,使数学课堂活跃起来.

3.小组合作交流,让课堂活起来

让学生合作交流、自主探究,可使学生处于主体地位,不但提升了学生的学习兴趣,而且还培养了学生各方面的能力.本节课在探究用数量关系来判断直线与圆的位置关系时,笔者采用小组合作交流的方式来突破此难点,在学生的激烈讨论交流中,使整个课堂活起来,提高学生的课堂效率和学习效率.

4.设计问题链,让课堂活起来

伟大科学家爱因斯坦曾说过:“提出问题比解决问题更重要.”在数学课堂教学中, 教师不仅要精心设计探究性题目,而且还要一题多变、设计递进式问题链,同时也要鼓励学生大胆对问题提出猜想、进行变式,这样更有利于培养学生的发散性思维和综合探究力,从而提高学生的创新能力.

本节课在延伸探究环节,我对例1 进行变式,学生还是能够上手解决的.但是当我再次变式,把“直线AB 与⊙C 只有一个公共点”改为“线段AB 与⊙C 只有一个公共点.”时,难度提升, 激发了学生强烈的求知欲.待问题解决后, 我让学生提出问题,对例题进行变式,学生变式出“当r 满足____时,线段AB 与⊙C 有两个公共点”、“当r 满足____时,线段AB 与⊙C 没有公共点”等.当解决自己或同学提出的问题时,学生会更加兴奋,思维会更加活跃,整个课堂气氛会更加热烈.

5.合理运用多媒体,让课堂活起来

教学中合理使用多媒体,一方面可以激发学生学习兴趣,另一方面可以化难为易,使一些抽象难懂的内容变得易于理解和掌握.教学中根据教学内容的特点和学生的认知水平合理运用多媒体,促进学生积极思考,让学生成为学习的主体,课堂上学生动起来了,数学课堂也就散发出生命的活力.

本节课我在“创设情景”环节利用多媒体播放“海上日出”的视频,激发了学生的学习兴趣;在“拓展延伸”环节利用几何画板制作课件,在学生思考过后,通过演示课件,让学生直观感受⊙C 与线段AB 没有公共点、有一个公共点和有两个公共点时,半径r 发生的变化,从而突破难点.合理运用多媒体,可使学生在轻松愉悦的学习氛围中,最大限度发挥主体作用.