广州市中考数学试题中几何最值问题探究

广东省广州白云广雅实验学校(510430) 袁宏

在初中数学中,几何最值问题是初中几何中比较常见的一类问题,主要体现在求线段和最小或是线段的差最大等问题中.这一问题也是各地中考比较热衷的考点之一.广州市的中考也不例外,比较广州市2017年和2018年这两年中考试题,不难发现,在这两年的中考试题中也是连续考到这一知识点.如2017年广州市中考数学中的24 题和2018年广州市中考数学中的23 题这两道题目中的最后一问都可以归为几何中的最值问题,这两个最值问题,乍一看上去不一样,但是在解法中却能找到相同之处.

(2017年24 题)如图1,矩形ABCD 的对角线AC,BD相交于点O,△COD 关于CD 的对称图形是△CED.

图1

(1)求证: 四边形OCED 是菱形.

①求sin ∠EAD 的值;

②若点P 为线段AE 上一动点(不与点A 重合),连接OP,一动点Q 从点O 出发,以1cm/s 的速度沿线段OP匀速运动到点P,再以1.5cm/s 的速度沿线段PA 匀速运动到点A,到达点A 后停止运动.当点Q 沿上述路线运动到点A 所需要的时间最短时,求AP 的长和点Q 走完全程所需的时间.

本题是广州市2017年中考题24 题,是属于压轴题的范畴,是综合性比较强的一道题,主要是对矩形的性质、菱形的性质与判定、三角形的中位线的性质与判定,勾股定理的应用,三角函数的应用,图形的轴对称以及图形的运动和求最值问题等知识点进行了综合性的考查.题目还考查学生的运算能力、推理能力、方程思想、转化思想等数学思想.在当年9 万多考生中, 本题14 分的满分中, 仅有3.28 分的平均分.本题第一问证明四边形OCED 是菱形应该是比较容易的一问,只需要利用菱形的判定方法证明四边相等即可,而由已知条件也是易证四边相等.第二问的第一小问要求∠EAD的三角函数,可以用我们经常用到的两种方法来解决,一是需要做辅助线直接把角放在直角三角形中;二是可以采用转化的方法,把要求的角度转化为与之相等的角,并且这个角度是在直角三角形中, 接下来利用三角函数的定义来解决,最终求三角函数问题就转化为求线段长度的比值问题.这一问,对于中等程度的学生来讲,若是时间充足,是可以做出来的.本题的第二问的的第二小问设置的是一道有区分度的一问,本题在这一问上就会拉开差距,卡住不少学生.本题乍看上去是一个动点问题,但是深入的分析,就会发现其实是隐藏了最值问题,明面上是运动中时间的最小,但是把所需时间表示出来,t=然后结合第二问中的三角函数,把转化为点P 到AD 边的距离PG,就会发现时间最短问题最终转化为在线段AE 上找一点P 使得线段OP +PG 的和最小,这就是我们开始讲到的几何中的最值问题.分析透本题,本题的解法也并不唯一,接下来给出本题第二问的一种解法.

解(2)如图2, 由题意可得, 点Q 运动到点A 的时间为过点E作EF⊥AD, 交AD 的延长线于点F, 则EF = 3cm,所以从而过点P 作PG⊥AD 于点G, 则有过点O 作OH⊥AD 于点H, 则有而所以tmin= 3s.显然所以综上所述,当点Q 沿上述路线运动到点A 所需要的时间最短时,AP 的长为点Q 走完全程所需的时间为3s.

图2

接下来我们来看2018年的23 题.

23.如图3, 在四边形ABCD 中, ∠B = ∠C = 90°,AB ＞CD,AD =AB+CD.

图3

(1)利用尺规作∠ADC 的平分线DE,交BC 于点E,连接AE (保留作图痕迹,不写作法);

(2)在(1)的条件下,

①证明: AE⊥DE;

②若CD = 2,AB = 4,点M,N 分别是AE,AB 上的动点,求BM +MN 的最小值.

本题是广州市2018年中考题23 题,本题属于中等偏上难度的题目,主要考查做已知角的角平分线的尺规作图、图形的轴对称、图形的运动及其求最值问题.题目还考查了学生的运算能力、推理能力和转化的数学思想.本题满分12 分,在本年的8 万多的考生中本题的平均分4.07 分.第一问的尺规作图是比较基础的,几乎每年都会考查的知识点,对于一般的学生而言,只需注意细节问题,几段弧线都能清楚的画出来, 也就能做到这一问不失分.第二问的第一小问, 我们知道证明线段的垂直关系最常用的方法有两种: 一是,证明角度为90°; 二是利用图形的性质直接证明垂直关系.所以这一小问的证明方法是比较多的,我们可以根据题意利用角平分线的性质作出辅助线, 结合题目中的已知条件利用全等三角形做为辅助工具导出角度直接的关系, 最终证明∠AED = 90°, 从而证明AE⊥DE.我们也可以利用条件,延长DE 交AB 的延长线与一点F,然后证明△ADF 为等腰三角形,同时证明E 为DF 的中点,利用等腰三角形的三线合一的性质,证出AE⊥DE.学生之所以反映今年的中考数学和往年比较有些难度,除了前面的几道题目加大抽象思维的考查和对分类讨论考查外,23 题的最后一小问也是卡住学生的一道题.本小问和2017年的24 题的最后一小问一样也是动点求线段和的最小值.这两道题目的这两道小题,看上去很象我们在人教版八年级上册13.4《课题学习最短路径问题》一节学过的知识点”将军饮马问题”,如图4,即“在直线l 的同侧有A,B 两点,要求在直线l 上找一个点P,使得点P 到A,B 两点的距离之和最短”.但是这两道题目和“将军饮马问题”又不完全一样.

图4

将军饮马问题的本质是两个定点,一个动点.但是2017年24 题的最后一问和2018年的23 题的最后一问都是一个定点两个动点.并且通过深入分析我们可以将2018年的这题,转化为和2017年24 题相同的解法.主要是先利用一下将军饮马的原理,做点B 关于直线AE 的对称点K,这样问题就变成,在AE,AB 上找两个动点M、N,使得点M 到点K 和点N 的距离之和最短.这样问题就和2017年的24 题完全一样了, 直接利用垂线段最短, 过点K 做AB 的垂线,与AE 交于点M,与AB 交于点N,最短线段和我们已经找到,接下来就是如何计算,在考场上有一部分学生已经找到了最短线段和,但是在如何求这条线段的长度时又遇到了问题.接下来给出本题的一种解答.

解(1)尺规作图如下图5 所示.

图5

图6

(2)① 如图6, 作EK⊥AD 交AD 于K, 连接AE.因 为DE 是∠ADC 角 分 线, ∠C = ∠DKE = 90°,所以由角分线性质可得∠EDK = ∠EDC, 所以所以△DEK△DEC (AAS).因为DC = DK,∠DEK = ∠DEC,又因为AD = AB +CD,所以AK =AD-DK =AB+CD-DK =AB,所以Rt△AEKRt△AEB(HL),所以∠AEK =∠AEB,又因为∠DEC +∠DEK +∠AEK +∠AEB = 180°, ∠DEK =∠DEC,所以∠DEK+∠AEK =∠DEC+∠AEB =90°,即∠DEA=90°,所以AE⊥DE.

这两道中考题我们都可以归为是下列的问题的一个应用.

如图7, 在直线l1上求点A, 在直线l2上求点B, 使PA+PB 值最小.

图7

图8

此类题目的具体做法如下: (如图8)

作点P 关于l1的对称点P′, 作P′B⊥l2于点B, 交l1于点A.

此类作图题的基本原理是: 用到“直线外一点和直线的所有点的连线中,垂线段最短,”即我们简称的“垂线段最短”.

搞清楚这类题目的原理和模型,以后遇到这类问题就很容易解决.接下来我们来看此类题目的一应用.

(2017·徐州)如图9,将边长为6 的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠, 展平后, 得折痕AD, BE (如图10- ①),点O 为其交点.

(1)探求AO 到OD 的数量关系,并说明理由;

(2)如图10- ②,若P,N 分别为BE,BC 上的动点.

①当PN+PD 的长度取得最小值时,求BP 的长度;

② 如图10- ③, 若点Q 在线段BO 上, BQ = 1, 则QN +NP +PD 的最小值=____.

图9

图10

本题的第一小问比较基础,利用等边三角形和直角三角形的性质很容易得到结论;第二问的两道题就是我们前面总结的模型的题目的应用,搞清楚了模型的原理,这两问也就非常容易完成了.下面给出题目的一种详细答案.

解(1)AO =2OD.

理由: 因为△ABC 是等边三角形, 所以∠BAO =∠ABO = ∠OBD = 30°, 所以AO = OB. 因为BD = CD, 所以AD⊥BC, 所以∠BDO = 90°, 所以OB =2OD,OA=2OD.

(2)①如图11, 作点D 关于BE 的对称点D′, 过D′作D′N⊥BC 于N 交BE 于P, 则此时PN +PD 的长度取得最小值.因为BE 垂直平分DD′, 所以BD = BD′.因为∠ABC = 60°, 所以△BDD′是等边三角形, 所以因为∠PBN = 30°,所以所以PB =

图11

图12

② 如图12, 作Q 关于BC 的对称点Q′, 作D 关于BE 的对称点D′, 连接Q′D′,即为QN +NP +PD 的最小值.根据轴对称的定义可知: ∠Q′BN = ∠QBN = 30°,∠QBQ′= 60°, 所以△BQQ′为等边三角形, △BDD′为等边三角形, 所以∠D′BQ′= 90°, 所以在Rt△D′BQ′中所以QN+NP +PD 的最小值故答案为: