中学数学新授课系统设计的实践与解析——以初中“幂的乘法运算”第一课时为例

伍春兰

(北京教育学院数学系 100120)

①2016年—2018年北京教育学院“协同创新学校计划”“基于学生数学思维能力培养的教学改进”的项目研究成果.

1 问题提出

考虑到学生的年龄特点，以及学习的方便，数学教材会依据课程标准将逻辑严密的知识拆解到不同年级，按章、节编排. 但是在新授课上，据笔者多年的课堂观察发现：学生往往缺少将章与节、节与节相关数学内容系统思考的机会，即教师常常忽视了将相关数学内容的来龙去脉及关系结构转换为教学资源，因此造成学生学了很多零散的、不知“安放”到哪儿、也不知如何“触发”的知识；一旦需要学生自由提取时，卡壳现象也就在所难免. 这也是学生上课一听就懂，书本一看就会，作业或考试一做就错的原因之一. 当然，可以通过习题课、复习课及强化练习实现亡羊补牢的效果，达成学生认知结构的完善. 但是学生内在学习动机(因探究学习内容激发的)的丧失，思维发展机会的丢失，以及单调重复引发的学生倦怠，各种阶段考试失利带来的对自信的打击，却是很难补救的.

布鲁纳指出以学科的基本结构为核心的学习有三大好处[1]：激发智慧兴趣；易于记忆、理解；有助迁移运用. 不少教育心理的研究也表明，基于知识结构的研究性学习，有助于塑造学生良好的认知结构，有助于提升学生迁移应用能力和探究学习能力[2]. 上述观点易得到教师的认同，但很难自动地对其教学活动产生影响. 因为“所倡导的理论”与“所采用的理论”是两个概念[3]. 欲使“所倡导的理论”成为教师的自觉选择，唤醒其改变的意识是关键，这正是笔者以“幂的乘法运算”新授课为题材借班上课的初衷.

2 教师调研

初中幂的运算的学习，北京版教材安排在7年级下册“第六章整式的运算”中[4]，整章的结构见表1.

表1 第六章整式的运算(北京版)的结构

关于“二、整式的乘法”课时安排，笔者调研了使用北京版教材的93位初中数学教师(来自北京市6个区县). 统计结果表明，总课时最少安排5节(6%教师)，最多安排11节(1%教师). 总课时安排8节的教师比例(40%)最高，其次是安排7节的教师，占37%. 其中安排7节或8节的具体情况，见表2.

表2 整式的乘法的总课时数7节或8节的具体安排

调查显示，整式乘法的3个幂的运算法则，98%教师按教材顺序各安排1课时. 这样设计的好处是教学内容单纯，教学顺畅，学生认知负荷较低. 但围绕单一法则展开的教学，学生无需整体思考，思维的参与有限. 当3个法则学完，再进行整式乘法的综合应用，此时选择成为必需，3个法则易混用的问题就集中爆发. 这可能是整式乘法的3个幂的运算法则学完后，多数教师还要安排4或5节课，进行整式乘法的相关练习的原因. 调查结果与笔者多年在教师培训中的课堂观察相吻合，即新授课教师更倾向于按教材的顺序分割课时，而漠视章节内容横向与纵向关联资源的开发与利用.

笔者曾在北京市某城区初中校，观察过一节“同底数幂的乘法”的研究课，发现该班学生明显地吃不饱. 课下与上课教师沟通，建议通过调研学生，整合3个幂的运算法则，另择一班再上. 因为将3个幂的运算法则同时推进，不仅让学生因内容的挑战性增强了学习的乐趣，也从第一课时起为学生赢得了更多地观察、比较、判断、选择等思维参与的时机，更有利于对3个法则的内在联系和差异的理解，而且本单元所用的课时也可相对缩减. 上课教师认同笔者的观点，也积极地表示试一试，但没有了下文. 这位老师授课的学生要比笔者借班的学生总体水平要高，这样整合的构想借班的学生可否接受？是否超过了借班的学生的最近发展区？于是笔者利用项目培训与学员同课异构的机会，将整式乘法的3个幂的运算法则系统设计并实践.

3 学生调研

笔者借用上课的班是北京市某农村初级中学7年级的学生，共计29名. 其中8名是借读生，21名京籍学生来自学校周边的自然村，他们的父母基本上从事体力劳动. 课外参加数学补习的有6名，都是京籍学生，其中2名数学成绩优良，4名数学成绩中差. 接近五成(14名)的学生有预习或复习习惯.

问卷提供了3组填空题，要求学生先填空再结合题组提出猜想(见表3). 调查在上课的前三天进行的，调查时间是10分钟.

表3 调查问卷

调查显现，题组1和题组2学生的正确率为100%.题组3有2人没填，1人错答了其中1个小题：(a·b)3=a( 1 )·b( 3 )，其余26人全对.

题组1是同底数幂的乘法运算，猜想情况(见表4)表明：38%的学生能将底数和指数都用字母表示，猜想合理；21%的学生只将底数用字母表示，猜想合理；10%的学生归纳猜想失误；31%的学生猜想不着边际或没有提出猜想.

题组2是幂的乘方运算，猜想情况(见表4)表明：35%的学生能将底数和指数都用字母表示，猜想合理；14%的学生只将底数用字母表示，猜想合理；10%的学生归纳猜想失误；41%的学生猜想不着边际或没有提出猜想.

题组3是积的乘方运算，猜想情况(见表4)表明：42%的学生能将底数和指数都用字母表示，猜想合理；10%的学生只将底数用字母表示，猜想合理；3%的学生底数和指数用新的数提出猜想；14%的学生归纳猜想失误；31%的学生猜想不着边际或没有提出猜想.

表4 猜想的统计

调查结果说明，学生基本掌握了an(n为正整数)的意义，他们能借助乘方的意义和乘法的结合律、交换律进行同底数幂的乘法、幂的乘方及积的乘方运算. 超过2/3的学生都能发现底数的相同或不同、运算前后指数的变化规律.

尽管总共只给了10分钟时间，但他们的猜想是多方位的. 有学生想到了交换乘积次序也成立的猜想，甚至有学生将指数2、3的差异作为猜想指出，令笔者汗颜. 因为问卷设计仅注意到降低猜想难度设置指数为2、3，忽略了指数同一带来的误导.

当然学生猜想的水平也呈现差异. 超过1/3的学生能够独立地用符号语言提炼出法则，表现出一定的抽象水平，但对字母表示的指数是否有限制没有学生指出，也反映出他们思维的严谨性不够.

需要指出，能由特殊归纳出一般法则，并不代表学生真正地掌握了法则. 原因之一是由特殊到一般类似“照猫画虎”，相对简单. 而应用法则(一般)解决特殊情形问题，首先需要发现特殊情形满足法则(一般)的条件，这需要一定质量的练习才能实现. 原因之二是幂的运算是学生从四则混合运算上升到指数运算的一次飞跃，运算惯性使然、新的法则的陌生都不可避免令学生出错. 因此掌握幂的运算，不可能一蹴而就.

前测验证了笔者的假设：整式乘法的3个幂的运算法则系统设计，学生可以接受. 这一结果，坚定了笔者整体设计与实践的信心.

4 内容分析

整式的四则运算，上承数的运算，下启分式、方程、不等式及函数的变换，而整数指数幂的运算法则又是整式乘除法的基石. 幂的运算法则包括同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则以及同底数幂除法的法则. 前三个法则，指数范围在初中限定在正整数. 通过同底数幂除法，指数范围拓展到负整数和零. 到了高中幂的运算的指数由整数推广到实数，这样开方运算也是幂的运算的一部分了. 在指数式ab=N的基础上，高中还要学习相应的对数式logaN=b. 因此初中学习的整数指数幂的运算法则，也是高中学习实数指数幂和对数的基础.

同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则及积的乘方法则，都是特殊的幂的乘法运算. 同底数幂的乘法，要求底数相同，指数没有要求相同. 当底数相同指数相同，易与合并同类项混淆，其实合并同类项本质是同底数且同指数的幂做加减法. 幂的乘方是同底数且同指数的幂做乘法，因此可以转化成同底数幂的乘法. 积的乘方之逆是不同底数、相同指数的幂的乘法. 3个法则用符号语言表示时，外形很像，所以易混易错.

从形式上概括，3个法则都将幂的运算转化为相应的降一级运算，即同底数幂的乘法运算转化为同底的指数加法运算；幂的乘方运算转化为同底的指数乘法运算；积的乘方运算转化为乘方的乘法运算.

5 教学定位

整式乘法的3个幂的运算法则如果单独设计，多数教师追捧的典型教学流程如下：

(1)以一个能列出相应幂的运算的实际背景引入；

(2)给出几个类似的幂的运算(底数有正有负、有整数有分数；指数是正整数)让学生计算；

(3)给出几个类似的幂的运算(底数是字母、指数是正整数)让学生类比数的运算合理猜想结果；

(4)给出几个类似的幂的运算(底数是数、指数是表示正整数的字母)让学生类比数的运算合理猜想结果；

(5)指导学生归纳出相应的法则，并用文字语言和符号语言表示；

(6)有层次的、多样的相关巩固练习；

(7)总结.

上述设计就学习内容而言，逻辑清楚，容易学会，但最大的问题是学生思维参与是被动的，思维水平和学习能力没有得到相应的提升，而且缺少联系的孤立学习使得学生不能相应地建立良好的认知结构.

因此3个幂的运算法则系统设计，不是简单地将3个法则压缩到一节课上，而是以系统的整体、联系等基本观点为指导，三位一体地设计. 本节课主要活动如下：

(1)法则的必要性和充分性的思考：为什么在整式乘法运算先要学习3个幂的运算法则？有3个幂的运算法则就可以计算整式乘法了吗？

(2)3个幂的运算法则规定的合理性的探究；

(3)3个幂的运算法则的命名、内涵表述的文字语言及符号语言的斟酌；

(4)3个幂的运算法则的区别与联系的推敲.

3个幂的运算法则的必要性、充分性和合理性的探究，重要意义在于不仅从系统的高度，了解其来龙去脉，明晰区别与联系，而且让学生经历完整的数学思考，体验数学思考的价值和魅力.

法则规定的合理性的探究有两条途径，一是由特殊到一般的归纳猜想，二是由法则(一般)出发，利用符号语言说明. 途径二不仅要利用乘方的意义，而且还要借用单项式乘法的结合律和交换律. 7年级学生学习过有理数乘法的结合律、交换律，在没有定义单项式的乘法时，直接用单项式乘法的结合律和交换律学生往往也不会起疑义，但是教师要清楚途径二只是说明规定的合理性不是证明，否则逻辑上是有问题的. 因此笔者建议，当底数指数都是字母时，淡化从途径二出发对法则规定的合理性的考察，这也符合七年级学生的实际认知水平.

6 教学片段

6.1 引领学生系统思考，明确研究问题

上课伊始，笔者先后抛出两个话题(见表5)，让学生提问题.

表5 上课伊始的两个话题

通过对整式的乘法类型(单项式×单项式，单项式×多项式，多项式×单项式，多项式×多项式)的梳理，学生意识到最简单的整式的乘法应该是单项式×单项式，其他类型都可转化为单项式×单项式.

接下来让学生思考单项式×单项式的关键是什么？指出将单项式的系数相乘，作为积的系数是合理的，而数与数的乘法是我们熟知的，所以单项式×单项式的关键就转为含有相同字母的单项式的乘法，即幂的运算. 于是提出问题：需要对哪些幂的运算立规矩？

从问题出发的学习，特别是让学生参与到问题的发现和提出过程，激发了学生积极参与的热情. 同时系统地思考，也让学生明白为什么在学习整式的乘法前，先学习幂的运算.

6.2 从特殊到一般，感受法则的合理性和完备性

将研究问题简化为只考虑相同字母a，及不同字母a，b的乘法运算，设计了如下两个活动，见表6. 学生通过列算式，对算式的归类、命名，及归纳法则，学生体会到法则的合理性，以及初步感受到整式的乘法需要3个法则且3个法则就够了.

表6 构造幂的乘法算式及归纳猜想

下列算式(a2b)2；(a5b)2；(ab2)2；(a2b2)2；(a5·b2)2；(ab5)2；(a2b5)2；(a5b5)2；(a2b)5；(a5b)5；(ab2)5；(a2b2)5；(a5b2)5；(ab5)5；(a2b5)5；(a5b5)5也应归到组4中，考虑到学生的实际水平，为了规避难点，笔者有意忽略了. 事实上，由于时间紧，也没有学生想到列这些算式. 这些算式可布置作业，亦可供下次课练习之用.

通过有序、系统地思考，学生体会到为什么只给这三类算式[幂的乘法(同底数)、幂的乘方、幂的乘法(同指数)或积的乘方]立规矩，怎样规定是合理的.

7 设计建议

7.1 源于教材而高于教材的系统设计

用教材教而不是教教材已成为共识，但是，反观实践，许多一线教师对教材创造性地使用缺乏深度认识，特别是新授课对于教材重构的方式还较单一，比如基本保持教材的结构，只是在情境或例题和练习上做些调整. 用教材教的理想原则是源于教材而高于教材. 源于教材就是要读懂教材，这是教学设计的基础. 可以参看不同版本的教材，在对比中更准确把握编者的意图. 高于教材就是对教材的创造性教法加工，这是教学设计的精髓所在.

3个幂的运算法则，教材都是线性展开的[5]- [7]，教学时可根据学生情况适度整合系统设计. 首先，整体——局部——整体的处理方式，符合学生的认知规律，有利于他们的整体掌握. 其次，将法则(一般)应用到特殊情形，需要两个递进的步骤：会选择用哪个法则；会正确地使用法则. 如果特殊情形是实际问题，还需要先建立数学模型. 其中，会选择用哪个法则是关键，也是能力的体现，而整合的系统设计让学生从学习之初就开始选择.

欣喜地看到，观摩听课的37位教师，赞同笔者三位一体的系统设计，由原来遵循教材顺序的线性设计，转变到如今系统的设计，特别是对3个法则进行了适度整合，而且其中29%教师总课时减少1课时；49%减少2课时；22%减少3课时.

7.2 学会学习和思考贯穿教学始终

由前面的调查分析可知，笔者借用上课的学生家庭环境普遍不好，学生的基本素质一般. 面对这样的生源，包办代替学生思考，只教知识方法，不教知识方法的本源是不可取的. 正确的策略是更要重视学生学习方法和思考方式的指导.

比如，3个法则从列算式探究，到给法则冠名，及文字语言和符号语言的整理过程，都是让学生深刻理解法则，培养他们“既见树木，又见森林”的优良学习和思考习惯. 又如，考虑到7年级学生抽象能力还欠佳，引导学生为每个法则自我选择一个特例，帮助自己理解. 再如，将教材中3个法则的7个例题布置为作业，并要求学生先自己做题，再与教材核查，进而对错解反思，找到规避的方法.

7.3 开发隐性的教学资源

3个法则，可以引出如下一些教学资源：

(1) 法则作为一种规定，规定的必要性和充分性的探究；

(2) 法则合理性的探究；

(3) 法则相关的历史、文化的融入；

(4) 法则条件、结论的辨析；

(5) 幂的加减乘除运算的对比研究；

(6) 法则的应用；

(7) 法则思想方法的渗透.

对上述教学资源的不同选择，反映出教师相异的教学目标. 如果长期关注点保持一致，那么这种选择就是其教育观的反映.