2018年北京高考数学理科压轴题剖析

汪燕铭 卢发接

(北京师范大学第二附属中学 100088)

2018年北京高考数学卷的试题继承了“大气、平和，贯通融合”的特点，在试题的呈现方式，题材的选取，能力立意和数学核心素养的考查等方面都进行了很好的探索[1]．试卷结构稳定，难易程度适当，注重数学素养和创新能力的考查，试题内容立足主干知识，密切联系学生的学习和生活实际，充分体现数学在应用、文化和教育方面的价值，达到了《2018年普通高等学校招生全国统一考试北京卷考试说明》[2]中要求突出数学试题的能力立意，强化对素质教育的正确导向的目的．

北京高考数学卷理科压轴题特色鲜明，一直受到社会各界的广泛关注．该题通常没有固定的解题套路，在平时训练中很少见到类似的题型，需要学生阅读题目内容，理解题中定义的新概念或新运算的含义，探究它们的性质，并应用于解决问题．2018年北京高考数学理科压轴题以集合为载体，定义了一种新运算，通过基本计算和求满足给定条件的集合元素个数的最大值，重点考查学生的抽象概括能力和推理论证能力．

题目设n为正整数，集合A={α|α=(t1,t2,…,tn),tk∈{0,1},k=1,2,…,n}.对于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,xn)和β=(y1,y2,…,yn)，记

(Ⅰ) 当n=3时，若α=(1,1,0)，β=(0,1,1)，求M(α,α)和M(α,β)的值；

(Ⅱ) 当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α,β，当α,β相同时，M(α,β)是奇数；当α,β不同时，M(α,β)是偶数. 求集合B中元素个数的最大值；

(Ⅲ) 给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α,β，M(α,β)=0.写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由.

在本文，我们首先给出新运算M(α,β)的一个等价定义，然后基于此定义给出上述压轴题的另一种解法．最后，我们分析该问题的高等数学背景，进一步认清运算M(α,β)的本质，同时给出第3问的更简洁的解法．

1 压轴题中M(α,β)的等价定义与压轴题的另解

注意到，对任意x,y∈R，

我们发现，当x,y=0或1时，总有min{x,y}=xy．

于是，对任意α=(x1,x2,…,xn)，β=(y1,y2,…,yn)∈A，

M(α,β)=x1y1+x2y2+…+xnyn．

(1)

这样一来，经过推理论证和抽象概括，我们得到了M(α,β)的一个等价定义，其表达式更加简洁优美和熟悉．基于此定义，我们可以给出该压轴题的另一种解法．

解(Ⅰ) 由(1)式直接计算得：M(α,α)=2，M(α,β)=1．

α1=(1,0,0,0)，α2=(0,1,0,0)，α3=(0,0,1,0)，α4=(0,0,0,1)，

β1=(1,0,1,1)，β2=(1,1,0,1)，β3=(1,1,1,0)，β4=(0,1,1,1)．

而M(αi,βi)=1，故αi与βi不能同属于B，i=1,2,3,4．由此推出，B中至多4个元素．而B={α1,α2,α3,α4}满足条件，故B中元素个数的最大值为4．

(Ⅲ)先用数学归纳法证明：当n≥2时，|B|≤n+1．

当n=2时，A中有4个元素α1=(0,0),α2=(1,0),α3=(0,1),α4=(1,1)．由于M(α2,α4)=1，M(α3,α4)=1，故当α4∈B时，α2,α3∉B，此时|B|≤2；当α4∉B时，|B|≤3．结论成立．

假设n=k时结论成立．那么，当n=k+1时，对任意α=(x1,x2,…,xk+1)∈A，记

α′=(x1,x2,…,xk)．

如果B中每个元素的第k+1个分量为0，令B′={α′|α∈B}，则|B|=|B′|，且对任意α′,β′∈B′，M(α′,β′)=M(α,β)=0．由归纳假设知，|B′|≤k+1，从而|B|≤k+1．如果B中存在一个元素α=(x1,…,xk,1)，则对任意β=(y1,y2,…,yk+1)∈B，β≠α，由于M(α,β)=0，故0=x1y1+…+xkyk+yk+1≥yk+1≥0，从而yk+1=0．令B′={β′|β∈B,β≠α}，则|B|=|B′|+1．由归纳假设知，|B|≤(k+1)+1=k+2．结论仍然成立．

因此，当n≥2时，|B|≤n+1．

再选取B={α1,α2,…,αn,αn+1}，其中

(2)

则|B|=n+1，且对任意α,β∈B,β≠α，都有M(α,β)=0．

综上所述，B中元素个数的最大值为n+1．

需要指出的是，(Ⅱ)和(Ⅲ)的证明过程都需要学生具有一定的推理论证的能力．例如，要证明集合B中元素个数的最大值为某个确定的数a，首先要证明对满足条件的每个集合B，其元素个数不超过a，然后证明存在一个满足条件的集合B，其元素个数恰好为a．另外，(Ⅲ)的证明过程还要求学生具有抽象概括的能力．例如，要得到集合B中元素个数不超过n+1，先要考察一些特殊情形，如n=2,3,4的情形，发现集合B中元素个数分别不超过3，4，5，由此抽象出一般规律，然后用数学归纳法严格证明．

2 压轴题的高等数学背景

从(1)式可以看出，运算M(α,β)与欧氏空间Rn中的内积之间有密切的关系．首先，我们回顾欧氏空间的概念．

定义[3]设V是实数域R上一个向量空间．若对V中任意一对向量α,β，都有一个确定的记作(α,β)的实数与它们对应，并且满足下列条件：

①(α,β)=(β,α)；

②(kα,β)=k(α,β)；

③(α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ)；

④当α≠0时，(α,α)>0，

这里α,β,γ是V中的任意向量，k是任意实数，则称(α,β)为α与β的内积，定义了内积的R上的向量空间V称为欧氏空间．

在欧氏空间V中，如果向量α,β满足(α,β)=0，则称α与β正交．

命题[3]设V为欧氏空间，α1,α2,…,αm∈V为两两正交的非零向量，则α1,α2,…,αm线性无关．

我们知道，Rn是R上的n维向量空间．对任意ξ=(x1,x2,…,xn),η=(y1,y2,…,yn)∈Rn，规定：

(ξ,η)=x1y1+x2y2+…+xnyn．

容易验证，(·,·)满足条件①～④．因此，它是向量空间Rn的一个内积，从而Rn关于这个内积作成一个欧氏空间．

注意到，压轴题中的集合A是Rn的非空子集．再由(1)式知，定义在A上的新运算M(α,β)本质上就是α与β的内积．利用欧氏空间的基本知识，我们很容易给出压轴题第3问的一个简洁证明．

(Ⅲ)的证明由命题知，Rn中彼此正交的非零向量一定是线性无关的，而集合B是由A中若干个彼此正交的向量构成的集合，故B中非零向量的个数不超过Rn的维数n．由于零向量与任何向量正交，故B中向量的个数不超过n+1．另一方面，A中存在n+1个彼此正交的向量，如(2)式中给出的α1,α2,…,αn+1.因此，B中元素个数的最大值为n+1．

我们发现，本文讨论的题目与2010年北京高考数学理科压轴题有相似的数学背景．后者叙述如下：

已知集合Sn={X|X=(x1,x2,…，xn),xi∈{0,1},i=1,2,…,n}(n≥2)对于A=(a1,a2,…,an)，B=(b1,b2,…,bn)∈Sn，定义A与B的差为：

A-B=(|a1-b1|,|a2-b2|,…,|an-bn|)；

A与B之间的距离为：

(3)

(Ⅰ) 证明：∀A,B,C∈Sn，有A-B∈Sn且d(A-C,B-C)=d(A,B)；

(Ⅱ) 证明：∀A,B,C∈Sn，d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数；

这两题都是以共同的集合为载体，在集合上定义新运算，先让学生探究新运算的一些基本性质，然后证明有关新运算的不等式．尽管本文讨论的压轴题第3问是求最大值，但本质上也是证明一个关于运算M(α,β)的不等式．另外，前者的高等数学背景是欧氏空间Rn(定义了内积的R上的向量空间)，运算M(α,β)为向量α与β的内积；后者的高等数学背景是赋范向量空间Rn(定义了范数的向量空间)[4]，其中范数为

||x||1=|x1|+|x2|+…+|xn|,

∀x=(x1,x2,…,xn)∈Rn.

由(3)式知，运算d(A,B)实际上为范数||·||1导出的向量A与B之间的距离，即

d(A,B)=||A-B||1，

这里，A-B为向量空间Rn中向量A与B的差．作为中学数学教师，我们需要透过题目表面，挖掘其背后的数学本质．这样做的目的，并不是要给学生讲解这些题目背后的高等数学背景，而是让自己的解题教学尽可能地做到有章可循．