高中函数建模教学设计

曹倩倩

[摘   要]看似简单的数学函数却包含了很多限制条件与现实问题的模型，函数的教学是高中数学教学的重点和难点.将函数教学融入现实的生活中，形成建模思想，并展开建模教学，既能帮助学生深刻理解函数概念，又能帮助学生灵活运用所学的函数知识解决问题，具有极其重要的教学意义.

[关键词]函数;建模教学;高中数学

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章編号]    1674-6058（2019）05-0021-02

函数教学是高中数学教学的重点也是难点，同时还是学生解决生活问题和将来学习大学应用数学的基础.因此，学好函数知识具有极其重要的意义.但是函数比较抽象，对中学生来说有一定的理解难度，是学习的难点.为此，本文拟将函数教学与数学建模相结合，以期使学生对函数知识的理解能力和应用能力得到有效提升.

一、高中函数与数学建模

数学建模是联系数学理论知识和实际问题的桥梁.将数学建模思想融入高中函数教学中，能够强化学生对抽象概念与性质及其应用的理解.在函数教学中，函数与对应案例的选取，模型的建立与限制条件的确定，是决定建模成功与否的关键要素.在很多应用案例中，所建立的模型往往会求出两个或以上的解，其中部分解要根据限制条件舍去.对一些函数与案例建立的模型求出的解进行代入验证时，发现这些解毫无意义，这说明模型的选择是错误的.

函数教学应该选择合适的建模案例，这是学生运用函数知识解决问题的关键所在，它能够促进隐性知识和定义理论不断转化并逐步完善，加深学生对数学概念的理解.一些文献中提出了用以加深学生对函数定义与性质理解的数学建模案例，但这些案例多是经过一定程度的数学建模加工得到的“成品”或“半成品”，问题的提法也已经是数学化和理想化，具有条件清楚准确、结论唯一、结果符合实际等特点，甚至可以说是已经建立了完善的数学模型.

函数建模是将实际问题蕴含的函数关系巧妙地、恰当地运用函数解析式反映出来，然后对所建立的函数进行研究，以达到解决实际问题的目的.函数建模需注意以下几点.

（1）关注建立模型的合理性，即需要进行合理的假设;

（2）将所求得的结果进行合理化验证，根据实际情况对所求的值进行修改和完善，使之更加符合要求;

（3）一个函数模型可能会运用多个函数表达式.

目前，中学数学中涉及应用性较强的函数类型有幂函数、三角函数等.故本文拟以幂函数、三角函数为例，介绍相关函数建模的教学设计.

二、幂函数建模教学设计

在日常生活中，我们经常会遇到一些数学问题，这些问题和中学数学函数有着密切的联系.比如，在商店购买商品时，如何买商品既划算又不会造成物品使用的浪费，这类问题的解决与幂函数有紧密关联.不同规格的商品的价格是确定的，各个生产要素决定了商品的价格.

例如，某火腿肠厂家生产火腿肠出售，其中60 g的火腿肠售价为1.15元，而150 g的火腿肠售价为2.5元，现有某施工单位为了满足职工需求，生产180 g的火腿肠，该如何确定该火腿肠的定价.

（1）假设各要素对应的参数

y、y1、y2分别为火腿肠的出厂价、火腿肠的生产成本、火腿肠的包装费用;w表示火腿肠的重量;[S]表示火腿肠的包装面积.

（2）合理假设，建立模模

根据日常生产经验，火腿肠的出厂价格是由火腿肠的生产成本、包装成本和人工成本决定的，为了将模型理想化，将人工成本假设为0或固定值，不参与计算.

当生产量较大时，火腿肠的生产成本和火腿肠的重量成正比例关系，系数为k1;

当生产量较大时，火腿肠的包装成本和火腿肠的包装面积成正比例关系，系数为k2;

当生产量较大时，火腿肠的包装面积和火腿肠的质量成正比例关系，系数为k3;

火腿肠包装表面积的计算公式为[Sw=k3w23].

（3）建立数学结构

假如上述假设是合理的，那么可以求得：

（4）合理修正结果

求得火腿肠的出厂价格约为2.93元，考虑整箱包装费用、其他细节费用以及销售便利程度等因素，零售定价应为3.00元.

（5）案例启示

本次建立的数学模型将很多环节进行理想化，例如火腿肠的生产成本和质量并不是完全成正比，严格来讲，应该是一次函数关系;实际生产过程中人工成本占有很大的比例;等等.本次建模为了便于计算，均进行了理想化.在计算过程中，火腿肠的体积和对应的表面积是按照规则形状计算的，但实际上存在偏差，在实际生产中应该进一步校正.

上述实际问题就是函数与模型建立之间的关系，根据实际问题提取其中的重要信息，结合不同火腿肠的质量所对应的各项成本建立幂函数关系，进而建立数学模型并进行分析与求解.

三、 三角函数建模教学设计

三角函数较为抽象，如果不与实际问题相结合，学生是很难理解的.因此，三角函数教学中，教师应在现实实物的基础上建立数学模型，以此来激发学生的学习兴趣.三角函数与现实生活密不可分，三角函数在现实中的应用也十分广泛.如现实生活中的“轮子问题”就与三角函数关系密切.

复杂的三角函数问题往往是由简单的三角函数问题组合而成，简单的三角函数问题往往通过直角坐标系来解决.

以上简单的三角函数问题如果单凭想象很难解决，但是如果把问题放置到直角坐标系中来，问题即可迎刃而解.

对于比较复杂的三角函数问题，需要一一分解，再将分解出来的每个问题逐个建立数学模型，再将其组合在一起，从而解决问题.

例如，某游乐园为了吸引顾客，打算建造一个在一定时间内在水下经过的摩天轮，已知摩天轮的半径为L（如图3），摩天轮的圆心用O表示，摩天轮的圆心O在水面之上，且距离水面的距离为l，已知摩天轮每分钟逆时针转动n圈，当游客箱处于点A位置时进行计时，假设水深为h，那么P点距离水底的高度与时间T的关系式该如何表达？

如果直接回答此问题很困难，但若将其分解为几个小问题，再逐级对每个小问题建立模型求解，此问题的解答就相对容易了.

首先，将此问题放入平面直角坐标系中，建立具体模型;其次，将问题分解为点P距离水面的距离与时间的函数关系.点P到达最高点所需要的时间是多少？点P到达最高点的时间节点分别是什么？点P潜入水面以后距离水面的距离与时间的关系是什么？一个圆周内点P共在水下持续多长时间？等等.如果将以上问题按照顺序逐一回答，熟悉点P在整个圆周运动内每个点的情况，那么点P位与t的函数关系式就非常简单了.

综上可知，函数教学与数学建模密不可分，尤其是类似于幂函数和三角函数等较为抽象的函数.教师在函数教学中要不断引导学生将简单的函数关系与生活实际相结合;在解决问题的过程中，教师应引导学生将现实中的问题进行理想化，进而归结到函数关系中，并将求得的结果进行验证和合理地取舍.这样，既让学生能进到模型中去，又能回到现实中来，真正实现活学活用.

[  参   考   文   献  ]

[1]  贾晨. 数学模型思想在中专生函数教学中的应用研究[D].合肥：合肥师范学院，2018.

[2]  冯爱美. 数学建模思想融入函数教学的实践研究[D].西安：陕西师范大学，2015.

[3]  徐园园. 高中数学建模教学策略[D].西安：西北大学，2015.

[4]  岳海彦. 崇礼区一中初中生函数建模问题案例分析[D].石家庄：河北师范大学，2017.

[5]  纪雪颖. 高中学生数学建模能力水平研究[D].上海：华东师范大学，2010.

（特约编辑 安 平）