初中数学“绝对值”教学探微

朱立明

[摘   要] 对于绝对值内容的教学，需要从明确绝对值的几何意义、掌握绝对值的化简步骤和做好绝对值与其他知识的融合三个方面入手，从而促使学生真正学会运用绝对值知识来解决问题，提升学生解决问题的能力.

[关键词]绝对值;初中数学;解决问题能力

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）05-0019-02

绝对值是学生最早接触的知识点，它考查学生逻辑思维和综合思考问题的能力.只有明确绝对值的几何意义，才能更好地掌握绝对值的相关内容，进而有效解决绝对值的相关问题.

一、明确绝对值的几何意义

在讲解绝对值的几何意义时，教师往往会一带而过，只是简单讲解“绝对值不等于负数，它永远大于等于0”.但对于绝对值如何在数轴上表示并没有进行详细的讲解，这很容易导致学生不能真正明确绝对值的几何意义，不能很好地利用绝对值知识解决问题.对此，在讲解“绝对值的几何意义”时，笔者让学生在数轴上标注绝对值的关键点.例如，在解[a-2>0]这道题时，笔者会提问：“这个绝对值在数轴上表示怎样的含义？”学生通过分析得出：该绝对值表示距离数轴2的点大于0的区间.对此，笔者让学生借助数轴来解该不等式，学生从数轴上可以直观地找到不等式的解集{a|a≠2}.笔者对学生说：“掌握好绝对值和不等式的几何意义，可以快速准确地得出答案，避免复杂的数学计算.”接着，笔者让学生借助绝对值的几何意义进行问题处理.例如，求解不等式[x2-5x+6>3]时，笔者让学生借助数轴及绝对值的几何意义来解决.通过计算，学生求出方程[x2-5x+6=0]的解为x1 = 2，x2=3，并将这两个点在数轴上标注出来.通过对绝对值几何意义的理解，学生将方程小于0的图像经过数轴对称转变为方程大于0的图像.笔者点拨学生：“绝对值大于3，可以转化为函数y = 3.”学生通过比较[y=x2-5x+6]与y = 3的图像，得出不等式[x2-5x+6>3]的解集，快速准确地解决了绝对值不等式问题.最后，笔者进行总结：“在解决绝对值不等式问题时，一定要充分明确其几何意义，将复杂的求解过程转化为可以直观处理的问题，从而既好又快地解决问题.”这样，学生对绝对值不等式的几何意义有了更清晰的认识，挖掘到其解决数学问题的优势所在，准确把握其基本内涵，同时借助几何图像实现绝对值问题的解决，数学能力得到了显著的提升.

二、厘清绝对值的化简步骤

绝对值问题的难点和重点主要集中在化简上，学生只有系统掌握绝对值的化简步骤，才能有效解决数学问题.

1.掌握绝对值符号的正负变化

学生在化简绝对值不等式时，往往不会全面考虑不等式的符号问题，只是单一地考虑其中的一个方面，从而无法系统有序地解决不等式问题.例如，在化简[-2x+6>5]时，学生只是单纯考虑- 2x + 6 > 5这一种情况，而没有考虑-2x + 6 < -5这一种情况，从而不能全面、准确地解决问题，影响对数学知识的理解与掌握.在讲解去掉不等式符号的相关内容时，笔者通常会指导学生：“在去掉不等式符号时，要充分考虑不等式另一边值符号的变化，避免考虑不全面而造成解题失误.”接着，给学生出示相关例题，以加深学生对不等式符号变化的认识.例如，求解[x2+x+1>6]的解，学生参照笔者讲解的内容，很快得出x2 + x +1 > 6和x2 + x +1< -6，并对这两个不等式进行求解，得出x的取值范围.在求解最后，学生发现x2 + x +1< -6这个不等式不成立，只有x2 + x +1> 6符合条件.对此，笔者进行总结：“在做绝对值符合变化时，一定要充分考虑绝对值里面函数的大小，如果发现该函数本身大于零，则可直接将绝对值符号去掉，不做任何符号变化.”

2.掌握绝对值化简的先后顺序

绝对值的化简步骤，需要学生灵活掌握其先后顺序，只有明确如何将方程从绝对值中分离出来，才能更好地解决绝对值问题.

学生在化简绝对值时，往往会存在各种各样的问题，由于其对绝对值化简步骤掌握不够牢固，造成他们出现考虑不全、化简错误的问题.在教学“绝对值化简先后顺序”时，笔者会强调：“在去掉绝对值符号时，一定要明确其存在的两种情况，充分考虑去掉绝对值符号后方程的大小变化.”然后，让学生练习解答[x-1>3]，由此明确可能存在x -1>3和x -1< -3这两种情况.接着，让学生练习求解[x+3>5]，加强学生双层绝对值化简的训练.学生通过之前的学习，可以得出[x+3>5]和[x+3<-5]，并按照绝对值的定义范围，将[x+3<-5]这种情况排除，然后按照去绝对值的原则得出x的取值范围.此时，笔者再度提高题目的难度，让学生求解带有未知数的绝对值，比如[x2-5x+6 0，即x > -8.接著，笔者让学生化简绝对值得出-x-8 < x2-5x + 6 -8进行结合，从而得出x的取值范围.最后，笔者进行总结：“遇到这类题目，需要大家掌握绝对值化简的先后顺序，按照规范顺序来解答题目，从而将绝对值问题转变为易于解决的问题.”

掌握绝对值化简的先后顺序，对解决绝对值问题至关重要，它可提高学生分析问题的全面性，促进学生全面掌握绝对值的相关知识.

三、做好绝对值与其他知识的融合

绝对值问题并不是只考查某一知识点，而是将绝对值与其他知识点进行综合考查，从而实现学生对數学知识的灵活掌握.

1.做好绝对值与函数图像的融合

在讲解完绝对值问题后，笔者通常会将绝对值与其他知识联系在一起，来共同考查学生对绝对值知识的掌握程度.例如，在求解方程的取值范围时，会考查学生对绝对值与函数图像的掌握程度.比如，求解[x-3·x+5·x-12]与y = 2函数的交点数.对于这一题，学生由于对这个函数掌握得不够充分，不能通过相乘来得出函数解析式.笔者引导学生思考：“绝对值函数相乘是否可转化成不带绝对值的函数相乘？”学生分析得出：可以转化成（x-3）（x+5）（x-1）的函数.接着，笔者让学生借助数轴得出该函数的关键点x = 3，-5，1.学生借助数形结合，按照“奇穿，偶不穿”的原则，画出了该函数的图像.最后，笔者进行总结：“根据绝对值函数图像的定义，将数轴下方的函数图像对称翻折到上方，可得出绝对值函数的图像，最后与y = 2函数进行相交，通过数形结合得出交点数.”此时，学生对绝对值函数图像有了新的认识，明确如何去求解函数的交点数.

2.做好绝对值与特征函数定义区间的融合

在初中绝对值问题的考查中，往往会让学生去求解函数的区间.通常学生会按照绝对值的定义和几何意义，求出x的取值范围.但是，在某些时候求解x的取值范围时，需要考虑绝对值与特征函数定义区间的融合.例如，在求解[lnx2-8x+12<0]的区间时，学生往往会考虑-1< x2 - 8x +12 <1，但是对x2 - 8x +12 ≠ 0这个定义要求却没有考虑.又如，求解函数 [x+4x-3>0]的定义域，笔者让学生分析该函数是由哪些特征函数组成的.学生通过分析得出：“该函数包含了分数函数、绝对值函数和开根号函数.”接着，笔者让学生将各个函数的定义域求出.学生通过分析得出[x-3≠0]，[x+4≥0].最后，通过求解x的取值范围，从而求解出函数的定义域.

综上可知，初中数学“绝对值”教学，需要学生明确绝对值的几何意义，掌握绝对值的化简步骤.在求解绝对值问题过程中，应将绝对值与其他知识进行融合，从而实现对绝对值问题的有效解决，提高学生解决问题的能力.

（特约编辑 安 平）