待定系数法在圆锥曲线标准方程中的应用

王瑞华

一、待定系数法的定义及其理论依据

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新形式，这样就得到一个恒等式，然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫作待定系数法。更广泛地说，是要确定变量间的函数关系，设出某些未知数，然后根据所给条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法。其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件：对于一个任意的a值，都有f(a)=g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。

二、待定系数法的应用步骤

利用待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程，使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决。要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。使用待定系数法解题的一般步骤可归纳为以下三点。

1.确定所求问题含待定系数的解析式；

2.根据恒等条件，列出一个(组)含待定系数的方程；

3.解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：利用对应系数相等列方程；由恒等的概念用数值代入法列方程；利用定义本身的属性列方程；利用几何条件列方程。

三、待定系数法在圆锥曲线标准方程中的应用

椭圆与双曲线的标准方程推导方法相同，得出方程形式类似，所以它们的解法也就有很多共同点，比如：已知曲线的轨迹是椭圆或双曲线时，求标准方程时都可用待定系数法，若焦点位置确定，直接设标准方程来求解；但若焦点位置不确定，直接设标准方程来求解需要讨论两种情况，有可能会导致漏解或过程繁琐，运算量增大。这就要加强对题目条件合理的使用，对方程进行适当的“改造”，达到避繁就简，事半功倍的效果。

解：设椭圆的半焦距为c，则椭圆的离心率为。可得到关系式，即 得，c=2，根 据a2=b2+c2，得b=2，故标准方程为。设等轴双曲线的标准方程为，由于等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，则有m=2。

评注：要用待定系数法求解解析式，首先要知道函数解析式的形式，然后用字母表示出解析式，然后根据题目中给出的已知条件解出未知数，最后写出解析式。

解：可设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m ＞0，n ＞0，m≠n)，将两点带入，得解得，n=1。故标准方程为

评注：当椭圆的焦点在x轴上时，标准方程为，焦点在y轴上时，标准方程为。从形式上看分别是x2和y2前的系数，所以可以将标准方程统一改造成mx2+ny2=1，当m ＞n ＞0时，椭圆的焦点在y轴上；当n ＞m ＞0时，椭圆的焦点在x轴上，从而避免了讨论。

待定系数法实际就是将待定的未知数与已知数建立等式关系，从而列出方程或方程组，解方程或方程组即可得待定的未知数，只需根据题目给出的条件解题即可。用待定系数法解题，思路较为清晰，操作比较方便，在很多解题过程中都可以用到。但是在解题过程中，待定系数法并不是最为简单、合适的方法。因此解题时要根据具体的题目，选择简单又适合的方法。