2019年全国高考解析几何命题预测

许少华

2019年的高考正在向我们缓缓走来，解析几何复习的情况如何？你知道近年高考在解析几何部分的命题特点吗？就全国1卷（理）来说，2018年的第8、11、19题分别考查抛物线、双曲线与椭圆;2017年的第10、15、20题分别考查抛物线、双曲线与椭圆;2016年的第5、10、20题分别考查双曲线、抛物线与椭圆;从近三年的情况可以看出：三大曲线齐上阵且解答题以椭圆为背景，这是曾经的规律也是过往的事实. 2019年呢？根据本知识块的特点及命题趋势，我们预测如下：

1. 客观性试题仍以基础与技能为主

客观性试题两道，其中一道较基础、另一道突出技能.对于较基础的这道题，基本上都可顺利拿分，较难试题能否拿下，直接决定了解几“三基”复习的成败.这道可能出在何处？又以什么“容颜”视人呢？

1. 1可能与圆有关

例1 已知直线x+y-k=0（k>0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（ ）

解析 当时，A，B，O三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA=OB，∠AOB=120°，从而圆心O到直线x+y-k=0（k>0）的距离为1，此时，k=当k>，又直线与圆x2+y2=4存在两交点，故k<2，综上，k的取值范围为[）.

点评 本题是圆与平面向量的交汇性试题，求解时除了平面向量的基本运算之外还要抓住直线与圆的位置关系，但难度不大，只要细心，不会出现问题.

例2 设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y-2=0与圆（x-1）2+（y-1）2=1相切，则m+n的取值范围是（ ）

解析 ∵直线（m+1）x+（n+1）y-2=0与圆（x-1）2+（y-1）2=1相切，

∴圆心（1，1）到直线的距离为d==1，

点评 本题求解既要用到基本不等式又要用到解一元二次不次不等式，是一道易出错之题.

例3 点P（2，2），圆C ∶ x2+y2-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.若|OP|= |OM|，则？驻POM的面积为（ ）

解析 圆C ∶ x2+y2-8y=0的圆心为C（0，4），半径为4.

设M（x，y），则

于是（x，y-4）·（x-2，y-2）=0，即N ∶ （x-1）2+（y-3）2=2此为点M的轨迹方程.

由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上.又P在圆N上，从而ON⊥PM. 因为ON的斜率为3，所以l的斜率为 -，故l的方程为y=-.

又|OP|=|OM|=2O到l的距离为|PM|=，

所以？驻POM的面积为.

点评 本题结合轨迹方程、结合直线与圆的位置关系及点到直线的距离等，是一道小的综合题，无论思维还是运算都较为独特，此类试题是我们应该关注的.

1. 2可能与圆锥曲线有关

例4 已知椭圆=1（a>b>0），A（0，4）为长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且=0，||=2||，则其焦距为                      .

解析 由题意，可知|且a=4，

又所以

又，故？驻OAC为等腰直角三角形，

不妨设点C在第一象限，则点C的坐标为（2，2），

点评 本题主要考查椭圆方程的应用，考查椭圆的几何性质，同时考查考生的基本运算能力.它的特别之处在于有较多的向量式子，理不清的话，出错是必然的.

例5 已知椭圆C ∶ +y2=1，如图直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，作F1M⊥l，F2N⊥l分别交直线l于M，N两点，求四边形F1MNF2面积S的最大值.

解析 将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程+y2=1中，

得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0.

则（4km）2-4（2k2+1）（2m2-2）=0？圯m2=2k2+1.

当k≠0时，设直线l的倾斜角为？兹，则d1=|F1M|=，d2=|F2N|=

由|d1-d2|=|MN|·|tan？兹|？圯|MN|=.

得S=··（d1+d2）·===.

∵m2=2k2+1，∴当k≠0时，|m|>1，则|m|+>2即S<2.

②当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，此时S=2.

∴四边形F1MNF2面积S的最大值为2.

点评 本题主要考查直线与椭圆的位置关系、考查圆锥曲线的基本运算能力，涉及的基本平面图形的面积及基本不等式的应用，思路很常规，但能沿着这个思路走下去不易，既容易出错又容易因运算量大而前功尽弃.

例6 设双曲线C ∶ =1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P. 若以OF1（O为坐标原点）为直徑的圆与PF2相切，则双曲线C的离心率为（  ）

A. B.

C. D.

解析 如图，在圆O中，F1F2为直径，P是圆O上一点，所以PF1⊥PF2，设以OF1为直径的圆的圆心为M，且圆M与直线PF2相切于点Q，则M（，0），MQ⊥PF2，所以PF1∥MQ.

从而？圯？圯|PF1|=？圯|PF2|=+2a，

又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，

即（）2+（+2a）2=4c2？圯7e2-6e-9=0？圯e=或e=（舍去）. 故选D.

点评 本题的最大特点是图形复杂，不排除有些考生“望图生畏”，只要沉下去，细分析、多联想，也还是可以产生结论的.

例7 过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F且倾斜角？兹为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于（  ）.

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

解析1 设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|=x1+x2+p=得x1+x2=

又x1x2=，从而x1=，x2=.

那===3，故选C.

解析2 由|AF|+|BF|=，+=？圯|AF|+|BF|=，+=？圯

|AF|=2p，|BF|=？圯=3.

解析3 设直线l的方程为y=（x-），

由y=（x-），y2=2px？圯12x2-20px+3p2=0？圯（2x-3p）（6x-p）=0.

从而x1=，x2=结合解析1即可.

点评 本题依据抛物线焦点弦的性质进行设计，其实，抛物线焦点弦的性质是设计一些基本问题的重要沃土，请看：①|AB|=x1+x2+p=（θ为AB的倾斜角）;②y1y2=-p2;x1x2=. ③S△AOB=（θ为AB的倾斜角）. ④+=.⑤以AB为直径的圆与准线相切.⑥以AF或BF为直径的圆与y轴相切.⑦∠MFN=90°.⑧过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.围绕这些结论可以轻松设计试题.

客观性试题的最大特点是：忽略过程、重视结论.当我们面对这些问题时，快与准是关键，因此对一些常用结论、常用性质及特殊图形最好都能熟记于心.

2. 主观性试题重在考查运算能力

从2016年至今连续三年全国Ⅰ卷主观性试题都出在椭圆上，同样都设置两问，第一问都考查求方程，几乎百分之八十的考生都能顺利完成求解.第二问分别考查了定点、定值问题，范围与最值及基本性质的论证.这一问是拉开距离、将考生划分三六九等的.但从总体上看，试题的难度都属于中档偏上，也是大部分考生的重要得分之题.涉及的能力主要有两种：字母运算能力与方程的处理能力. 2019年呢？

2. 1可能与定点、定值有关

例8 在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在曲线C2 ∶ x2+y2-4y+3=0外，且对C1上任意一点P，P到直线y=-1的距离等于该点与曲线C2上点的距离的最小值.

（1）求动点P的轨迹C1的方程;

（2）过点A（0，-2）的直线与曲线C1交于不同的两点M、N，过点M的直线与曲线C1交于另一点Q，且直线MQ过点B（2，2），求证：直线NQ过定点.

解析 （1）由已知得曲线C2是以C2（0，2）为圆心，1为半径的圆.

设P（x，y），则P到直线y=-1的距离等于|y+1|，又P到圆C2上的点的距离的最小值为|PC2|-1=-1.

（2）设点M（t，t2），N（t1，t12），Q（t2，t22），易得直线MQ，NQ的斜率均存在，从而直线MN的斜率k==（t1+t2），

所以直线MN的方程是y-t2=（t1+t2）（x-t），即（t+t1）x-8y-tt1=0，

同理直线MQ的方程为（t+t2）x-8y-tt2=0，

直线NQ的方程为（t1+t2）x-8y-t1t2=0，

点（0，-2）在直线MN上，所以tt1=16，即t=，点B（2，2）在直线MQ上，2（t+t2）-16-tt2=0，即2（+t2）-16-=0，化简得t1t2=8（t1+t2）-16，

代入直线NQ的方程得（t1+t2）x-8y-8（t1+t2）+16=0，

即（t1+t2）（x-8）-8（y-2）=0，∴直线NQ过定点（8，2）.

点评 本题以圆有关基础为入手点，以抛物线为主题展开，在求解过程中充分利用运算的规律性及整体代换，有效的化解了复杂推理与演算，使结论顺利而轻松产生.

2. 2可能与推理、论证有关

例9 已知椭圆C ∶=1（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点，O为坐标原点.

（1）求直线ON的斜率kON;

（2）求证：对于椭圆C上的任意一点M，都存在？兹∈[0，2π），使得.

解析 （1）设椭圆的焦距为2c，因，故有a2=3b2.

从而椭圆C的方程可化为：x2+3y2=3b2，得右焦点F的坐标为，0），据题意有AB所在的直线方程为：y=x-

由y=x，x2+3y2=3b2？圯4x2-6+3b2=0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点N（x0，y0），由韦达定理有：

x0

所以kON即为所求.

（2）显然作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向有且只有一对实数？姿，？滋，使得等

设M（x，y），由（1）中各点的坐标有：（x，y）=？姿（x1，y2）+？滋（x1，y2），故x=？姿x1+？滋x2，y=？姿y1+？滋y2.

又因為点M在椭圆C上，所以有（？姿x1+？滋x2）2+3（？姿y1+？滋y2）2=3b2整理可得：

？姿2（x12+3y12）+？滋2（x22+3y22）+2？姿？滋（x1x2+3y1y2）=3b2………（※）.

由于x1+x2=

所以x1x2+3y1y2=x1x2+3（x1x1+x2）+6b2=3b2-9b2+6b2=0.

又点A，B在椭圆C上，故有（x12+3y12）=3b2，（x22+3y22）=3b2代入（※）式. 可得：？姿2+？滋2=1.

所以，对于椭圆上的每一个点M，总存在一对实数，使等成立，且？姿2+？滋2=1.

所以存在？兹∈[0，2π），使得？姿=cos？兹，？滋=sin？兹.也就是：对于椭圆C上任意一点M，总存在？兹∈[0，2π），使得等式成立.

点评 本题的第二问是推理论证问题，由平面向量的基本定理与直线、椭圆的位置关系展开，有运算量，但只要是运算合理，可以有效避免.此类题联系广泛、运用的常规技能较多，是值得我们关注的问题.

2. 3可能与范围或最值有关

例10 已知椭圆C ∶ 1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，有|PF1|+|PF2|=4，椭圆的离心率为e

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）已知N（4，0），过点N作直线l与椭圆交于A，B不同两点，线段AB的中垂线为l′，线段AB的中点为Q点，记l′与y轴的交点为M，求|MQ|的取值范围.

解析 （1）因为|PF1|+|PF2|=4，所以2a=4，所以a=2，因为e=所以c=1，

所以b2=a2-c2=4-1=3，得椭圆C的标准方程为.

（2）由题意可知直线l的斜率存在，设l ∶ y=k（x-4），A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），联立直线与椭圆y=k（x-4），圯（4k2+3）x2-32k2x+64k2-12=0.

又？驻=（-32k2）2-4（4k2+3）（64k2-12）>0，解得：

化简得：y=令x=0，得m=，即

M（0，.

|MQ| =（16·[1]∈[0， 5）.

故 |MQ| 的取值范围为[0， 5）.

点评 范围与最值问题的求解往往涉及的内容较多，方程、韦达定理、弦长公式等，很多时候还会与函数结合，此类题的综合性较强，是各级各类考试“上卷率”较高的试题.

2. 4可能与探索性有关

例11 已知椭圆C ）.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）若不经过椭圆C的右焦点F的直线l ∶ y=kx+m（k<0， m>0）与椭圆C交于A、B两点，且与圆x2+y2=1相切. 试探究△ABF的周长是否为定值，若是，求出定值;若不是，请说明理由.

解析 （1）由题意得得椭圆C的标准方程为+y2=1.

（2）由直线l ∶ y=kx+m与圆x2+y2=1相切，得=1？圯m2=1+k2.

由（1）知F（，=1？圯（3k2+1）x2+6kmx+3（m2-1）=0.

？驻=（6km）2-4（3k2+1）（m2-1）=12（3k2-m2+1）=24k2≥0，

得x1+x2=，x1·x2=，

|AB| |x1-x2| ==

又m2=1+k2，得 |AB| =

因为 |AF| =x1.

同理， |BF| =x2，因此，|AF| + |BF| =2（x1+x2）.

所以△ABF的周长为2为定值.

点评 探索性问题也是高考命题中的常规类型之一，求解思路：先假设存在，然后进行推理，若出现矛盾，说明不存在;否则，结论存在且可直接产生结论.

2. 5可能与创新设计有关

例12 如图，点A（-2， 0），B（2， 0）分别为椭圆C： 1（a>b>0）的左，右顶点，P， M， N为椭圆C上非顶点的三点，直线AP， BP的斜率分别为k1，k2，且k1k2=AP∥OM，BP∥ON.

（1）求椭圆C的方程;

（2）判断△OMN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值;若不为定值，请说明理由.

（3）点Q是橢圆上任意一点，直线QA， QB与直线x=4分别交于E， F 两点，试证：以EF 为直径的圆交x于定点，并求该定点的坐标.

解析 （1）设P（x， y），则k1k2

即椭圆C的方率存在，设直线MN的方程为y=kx+t，由y=kx+t+8ktx+4t2-4=0.

？驻=（8kt）2-4（4k2+1）（4t2-4）=16（4k2-t2+1）>0.

设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），则x1+x2=

因为AP∥OM，BP∥ON，k1k，得kOMkON=

即4（kx1+t）（kx2+t）+x1x2=0？圯（4k2+1）x1x2+4kt（x1+x2）+4t2=0.

即（4k2+1）4t2=0？圯2t2-4k2=1.

此时，？驻=16（4k2-t2+1）=8（4k2+1）>0，符合题意.

|

又点O到直线MN的距离d=1.

即△OMN的面积为定值，定值为1.

（3）由A（-2， 0），B（2， 0），设Q（x0， y0），

则直线QA的方程为yx+2），与直线x=4 的交点E的坐标为E

再设以EF为直径的圆交x于点H（m，0），则HE⊥HF，从而kHE·kHF=-1，）或（）.

点评 本题具有一定的创新性，首先是图形，线条较多，让人眼花缭乱.其次，将探索性与定点问题融在一题之中，不算很难，但解几的各种基础知识与基本技能考得相当全面，尚若不具有扎实的功底，还是难以征服的.

解析几何是高考的“重头戏”，从近年的考题看，难度有所下降，因此，它成了高考数学是否成功的的重要标致，2019希望是你的幸运年，解几，是你首先突破的第一道关，祝你顺利通过.