平面向量的应用纵横谈

高慧明

一、平面向量基本定理的应用问题

平面向量问题一直在高中数学中以数学工具的形式出现，它很好的体现了数学知识间的联系与迁移，具体到平面向量基本定理，又在向量这部分知识中占有重要地位，是向量坐标法的基础，是联系几何和代数的桥梁.

1. 利用平面向量基本定理表示未知向量

平面向量基本定理的内容：如果同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向定两个不共线向量为基底，可以表示平面内的任何一个向量.

【例1】如图，（     ）

A. λ分解原理”，过点C分别作直线OA，OB的平行线，分别与直线OB，OA相交，利用向量加法的平行四边形法则和平面向量共线定理将表示.

【解析】设C.

【点评】利用平面向量基本定理表示未知向量时，向量加法的三角形法则、平行四边形法则以及必要的平面几何知识是必要的.

相关链接：在？驻ABC中，若点D满足 （    ）

2. 利用平面向量基本定理确定参数的值、取值范围问题

平面向量基本定理是向量坐标的理论基础，通过建立平面直角坐标系，将点用坐标表示，利用坐标相等列方程，寻找变量的等量关系，进而表示目标函数，转化为函数的最值问题.

【分析】首先利用已知条件建立适当的直角坐标系，并写出点A，B的坐标，然后运用向量的坐标运算计算出点C的坐标，再=1可得λ，？滋所满足的等式关系即圆的方程，设t=λ+？滋，将其代入上述圆的方程并消去？滋得到关于λ的一元二次方程，最后运用判别式大于等于0即可得出所求的答案.

【点评】若题中有互相垂直的单位向量，大多可建立坐标系，转化为代数问题.

相关链接：如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则λ+？滋的最小值为 .

【解析】以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐標系. 设正方形ABCD的边上为1，则E（，C（1，1），D（0，1），A（0，0）.

设

由题意得0≤？∴0≤cos？兹≤1，0≤sin？兹≤1.

∴当cos？兹=1时，同时，sin？兹=0时，λ+？滋取最小

3. 三点共线向量式

设A，B，C是共线三点，O是平面内任意一点，则，其特征是“起点一致，终点共线，系数和为1”，利用向量式，可以求交点位置向量或者两条线段长度的比值.

【例3】如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且的值为          .

【分析】g（x）在区间（-2，-1）内存在单调递减区间可转化为g（x）≤0在区间（-2，-1）有解，且不是唯一解，参变分离为a≤，只需求右侧函数的最大值，再检验等号.

【解析】这题应该用到这个结论：O是直线AB外一C三点共线的充要条件是m+n=1. 本题中就是

【点评】本题实质是不等式的有解问题，可先参变分离，转化为求函数的最值问题，但是需注意因为函数单调是对于某一区间而言的，故还需检验解不是唯一.

相关链接：若点M是？驻ABC所在平面内一点，且满足

（1）求？驻ABM与？驻ABC的面积之比.

（2）若N为AB中点，AM与CN交于点O，设，求x，y的值.

【解析】（1）

由O、M、A三点共线及O、N、C三点共线？圯x+

4. 平面向量基本定理在解析几何中的应用

【例4】设双曲线（a>0，b>0）的右焦点为F，过点F与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，与双曲线的其中一个交点为P，设坐标原点为O，=m，则该双曲线的渐近线为（    ）

【分析】过双曲线的右焦点F（c，0）并与x轴垂直的直线l ∶ x=c，与渐近线y=±的交点坐标为A（c），代入向量运算得到点P的坐标，再代入双曲线方程求出离心率，从而渐近线方程可求.

【解析】由题意可知A，

【点评】解析几何中基本量的计算要注意方程思想的应用和运算的准确性.

相关链接：已知A是双曲线>0，b>0）的左顶点，F1、F2分别为左、右焦点，P为双曲线上一点，G是△PF1F2的重心

A. 2 B. 3 C. 4 D. 与λ的取值有关

二、平面向量中的范围、最值问题

平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合.其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合.

1. 平面向量数量积的范围问题

已知两个非零x2+y1y2;（3）运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算.

【例5】在边长为2的等边三角形ABC中，D是AB的中点，E为线段AC上一动点，取值范围为        .

【分析】利用向量的加法或减法法则，将向量表示，结合已知条件量x表示，进而转化为二次函数的值域问题.

【解析】由题意，，转化为函数的值域问题，其中选择变量要有可操作性.

相关链接：已大值等于（  ）.

A. 13 B. 15

C. 19 D. 21

【解析】以點A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示（1，4），

等号成立. 故选A.

2. 平面向量模的取值范围问题

向量的模可以利用坐标表示，也可以借助“形”，向量的模指的是有向线段的长度，过可结合平面几何知识求解，尤其注意，如果直接求模不易，可以将向量用基底向量表示再求.

【例6】已知向最大值为（    ）

【分析】根据已知条件可建立直角坐标系，用坐标表示有关点（向量），确定变量满足的等式和目标函数的解析式，结合平面几何知识求最值或范围.

【解析】，以OA所在直线为x，O为坐标原点建立平面直角坐标系.

∵，则A（4，0），B（2，2），=-1，

∴x2+y2-6x-2y+9=0，即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3，1）为圆心，以1为半径的圆，

示点A，C的距离即圆上的点与点A（4，0）的距离;∵圆心到B的距离故选D.

【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标，正确找到变量间的关系，以及目标函数代表的几何意义是解题关键.

相关链接：已知]

C.（0，2]

试题分析：如右图所示，故选C.

3. 平面向量夹角的取值范围问题

【例7】已知向在t0时取得最小值，当0

【分析】示为变量t的二次+4cos？兹）t2 +（-2-4cos？兹）t+1，转化为求二次函数的最小值问题，当t0=

相关链

4. 平面向量系数的取值范围问题

平面向量中涉及系数的范围问题时，要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系，通过列不等式或等式得系数的不等式，从而求系数的取值范围.

三、平面向量在解析几何中的应用

向量具有代数与几何形式的双重身份，平面向量与解析几何的交汇是新高考命题改革的发展方向和必然趋势，平面向量在解析几何的应用非常广泛，通常涉及长度、角度、垂直、平行、共线、三点共线等问题的处理，其目标就是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算.

1. 利用向量相等的关系，把几何问题代数化

两向量相等当且仅当两个向量的长度相等、方向相同，由于向量坐标的唯一性，故两个向量相等的充要条件是坐标对应相等.

【例9】

（1）求椭圆C的离心率;

（2）设直线l 与x 轴交于点D（别代入椭圆方程中，然后两式相减，利用直线斜率公式

【解析】（1）设P（x1

两式相减：

又k1=

（2）由（1）知ea2=3c2，b2=2c2，

可设椭圆C的方程为：2x2+3y2=6c2，

设直线l的方程为：x=my-入椭圆C的方程有（2m2+3）y

由韦达定理：y1+y2：6-6c2

所以S？驻OPQ=

当且仅当m2=时，等号成立，此时c2=5，代入？驻，有？驻>0成立，

所以所求椭圆C的方程1.

【点评】利用向量相等法解题，要注意以下两点：1.已知向量起点坐标和终点坐标，则向量坐标为终点坐标减去起点坐标;2.向量相等的充要条件.

相关链接：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点，离心率等于

（Ⅰ）求椭圆C的方程;

（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，

令A（x1，y1），B（x2，y2），由y=k（x-2）2=1，得（5k2+1）x2-20k2x+20k2-5=0.

所以x12），

所以？姿1==-10.

2. 利用向量垂直的充要条件，巧妙化解解析几何中的垂直问题

两个非零向垂直的充要条件是、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，则点P的横坐标为（ ）

【分析】由已知条件，F1，F2坐标可求，设P（m，n），利关于m，n的方程，又点P=1立求m，n.

【解析】由已知得F1（-

【点评】解析几何中的垂直往往利用直线斜率关系处理，但利用斜率要考虑斜率是否存在，有时需要讨论，若把垂直问题，转化为数量积为零可以避开这个问题，但是要注意以下两点：1. 充分挖掘题中垂直的条件;2. 要善于寻找向量坐标.

相关链接：已知椭圆C m的值;

（2）若椭圆C上存在点M，使得以线段PM为直径的圆过原点，求m的取值范围.

【解析】（1）依题意，M是线段AP的中点，因为A（-1，0）

所以点M的坐标

因为M是线段AP的中点，所以P（2x0+1，2y0）.

以线段PM为直径的圆过原点则，OP⊥OM，即

3. 利用向量平行的充要条件，灵活转换解析几何中的平行或共线问题

的充要条件是存在唯一实数？姿，使是边长为2的正三角形.

（1）求椭圆C的方程;

（2）过点Q（-4，0）任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，在线段MN上取一点R，判断当直线l运动时，点R是否在某一定直线上运动？若在请求出该定直线，若不在请说明理由.

【分析】由已知条件得Q、M、N三点共线，R、M、N三点共线，式，利用向量相等的充要条件，得其坐标间的关系并结合消参技巧得x0=-1，故点R在定直线x=-1上.

【解析】（1）？駐F1AF2是边长为2的正三角形，则c=1，a=2，故椭圆C的方程1.

（2）直线MN的斜率必存在，设其直线方程为y=k（x+4），并设M（x1，y1），N（x2，y2）.

线x=-1上.

【点评】利用向量共线可以将解析几何中的三点共线或者平行问题代数化，利用向量相等的充要条件是联系的桥梁，同时要注意设而不求技巧的体现.

相关链接：设椭圆C ∶

（2）设Q是椭圆C上的一点，N（-1，0），连接QN的直线交y轴于点求直线l的斜率.

【解析】（1）由题设知F1

=k（x+1），则有M（0，k）. 设Q（x1，y1），由于Q、N、M三点共线

解得x1=-2，y

解得k=0，k=±4，综上，直线l的斜率为0或±4.

4. 利用向量夹角，合理处理解析几何中的角度问题

两个非零向量范围为[0，？仔]，由数量积定以灵活处理解析几何中的角的问题.

【例12】已知抛物线C ： y2=2px（p>0），F为抛物线C的焦点，A为抛物线C上的动点，过A作抛物线准线l的垂线，垂足为Q.

（1）若点P（0，2）与F点的连线恰好过点A，且∠PQF=90°，求抛物线方程;

（2）设点M（m，0）在x轴上，若要使∠MAF总为锐角，求m的取值范围.

【分析】（1）结合平面几何知识易得点A为PF的中点，则由中点坐标公式得A

（2）设A（x，y），y2=2px，

【点评】解析几何中的角往往会用到正弦定理或余弦定理以及直线斜率等，但是因为种种限制因素，利用向量处理有“柳暗花明又一村”的感觉，但是注意向量夹角与三角形内角的区别，向量夹角的范围是[0，？仔]，而三角形内角范围是（0，？仔），向量夹角是锐角，则cos？兹>0，且cos？兹≠1，而三角形内角为锐角，则cos？兹>0.

相关链接：已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线l1 ∶ x-y-0相切.

（1）求直线l2 ∶ 4x-3y+5=0被圆C所截得的弦AB的长.

（2）过点G（1，3）作两条与圆C相切的直线，切点分别为M，N求直线MN的方程

（3）若与直线l1垂直的直线l与圆C交于不同的两点P，Q，若∠POQ为钝角，求直线l纵截距的取值范围.

【解析】（1）由题意得：圆心（0，0）到直线l1 ∶ x

），又圆C方程为：x2+y2=4……（2），由（1）-（2）得直线MN方程：x+3y-4=0.

（3）设直线l的方程为：y=-x+b联立x2+y2=4得：2x2-2bx+b2-4=0，设直线l与圆的交点P（x1，y1），Q（x2，y2），

由？驻=（-2b）2-8（b2-4）>0，得b2<8，x1+x2=b，x1·x2（3）

因为∠POQ为钝角，所，即满足x1x2+y1y2<0，向共线，

又y1=-x1+b，y2=-x2+b，所以x1x2+y1y2=2x1x2-b（x1+x2）+b2<0.

由（3）（4）得b2<4，满足？驻>0，即-2

共线时，直线y=-x+b过原点，此时b=0，不满足题意，故直线l纵截距的取值范围是-2

注：向量在解析几何中的应用，尤其是在处理角度、长度、垂直、共线等方面显示出更多的优势，利用向量坐标是将几何问题坐标化的桥梁.