秦国工匠挑战数学难题

王纲怀

举世公认的“数学王子”只有一个，就是著名的德国数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家卡尔·弗里德里希·高斯。他在19岁那年（1796年）发现了正十七边形的尺规作图法，创造了数学史上的奇迹，这是他对科学的伟大贡献之一。

早在公元前1世纪的西汉中期，《周髀算经》就提出了用尺规进行几何作图的问题，其“卷上”载：“万物周事而圆方用焉，大匠造制而规矩设焉。或毁方而为圆，或破圆而为方。”查四百余年两汉连弧镜的圆周等分，从3至33，包括素数在内，有序不缺。

拙著《秦镜文化研究》（上海书画出版社，2018年8月）完全证明了汉承秦制的论断。在书中的216个图例中，有连弧镜63面，占全书29.2%，其中包括了20以内的所有素数。素数的定义为：一个大于1的正整数，除了1和它本身以外，不能被其他正整数整除，即为素数，又可称质数。迄今所知，除数字17外，凡素数皆不能用尺规来进行几何作图。今天我们仍然做不到的事，秦国工匠却早已在挑战这些数学方面的世界难题，我们不能不表示钦佩。

我们在中国古代郊祀歌词中，经常会看到一些具有特殊含义的数字，而且多与帝王及其天命结合在一起。如魏晋时期（无名氏）的《帝临》曰：“帝临中坛，四方承宇。绳绳意变，备得其所。清和六合，制数以五。海内安宁，兴文匽武。后土雷媪，昭明三光。穆穆优游，嘉服上黄。”

本文取《秦镜文化研究》中的五个图例，来具体了解秦国工匠进行数学挑战的实例。详见表一以及图1至图5。

图1涡云地七连弧镜

有一块涡云纹的秦瓦当（详见《秦镜文化研究·秦镜涡云纹研究》图1），其涡云纹定名，为秦镜地纹的命名提供了重要依据，可以一改过去作“云纹”“卷云纹”“勾云纹”等不统一的称谓。秦镜连弧纹数字，以七、八为多，且其存世量不分伯仲，这种情况一直传承至西汉早期。到了景武之际的花瓣镜与草叶镜，就成了一统天下的十六连弧，这是后话。

图2勾连地十一连弧三龙雷合形镜

觀此龙纹异常华美，且呈“龙雷合形”之状，详见本书《秦镜菱雷纹研究》。龙躯下方可见一足，着力于钮座外缘之弦纹上，富有韵律和动感。龙首造型简洁、龙目细长、龙口开张，唯有龙的上下颔用状如灵芝的纹样装饰；依同样的装饰手法，龙尾同样以花草的藤蔓和花叶等进行构图，线条饱满灵动。龙躯的菱雷纹之上有状如鳞羽或是龙翼的纹样飘扬，给整体增加了飞扬、灵动之感。龙躯之下有一足鼎立，似撑起全部龙身，却毫无负重之感。纹样整体犹如神龙在飞动之中穿越雷纹而过之一瞬间，动静、虚实相结合，美轮美奂。

《止水阁藏镜》图25系为同类镜，直径20.5厘米，重量430克。

图3云雷地十三连弧四叶四龙镜

此组龙纹可见龙躯居中而设，龙首侧视、上昂，似仰天长啸作龙吟状，可见上下龙颔大张，露出尖锐的龙牙；龙颈反转呈C形；龙肢并龙爪左右分开，一肢朝上，一肢朝下，粗壮且有力，起到了稳定画面重心的作用。龙翼向龙身两侧张开，末端向内弯曲形成涡卷结构，龙翼其上有龙羽飞扬，似有腾挪飞动之感。此镜与陕西历史博物馆所藏之十三连弧镜为同类器物。

图4素地十七连弧方花纹四凤三龙一虎镜

此镜方花纹外四凤皆身形硕大，展翅翱翔。奇特之处在于凤头甚小，眼珠突出。方花纹内四兽实为三龙一兽，左、右、下方三龙均呈龙行虎步状，上方一兽显为虎豹之形。此镜有三个明显特点。其一，在诸多方花纹镜系列的地纹中，唯此镜为素地。其二，直径是东周尺（23.10厘米）的标准12寸（误差-0.8%）。其三，17等分圆周问题在数学史上非常著名，德国大数学家高斯于1796年3月30日发现了正十七边形的尺规作图方法，从而使他下定决心终身从事数学研究工作。此镜挑战作图17连弧的年代，比高斯的伟大创造要早了两干多年。《汉广陵国铜镜》图1系为十七连弧圈带镜，直径18.5厘米。

图5涡云地十九连弧方花纹凤鸟镜

此镜两组凤鸟主纹，内区较大，外区稍小。《史记·秦本纪》曰：“秦之先，帝颛顼之苗裔孙日女修。女修织，玄鸟陨卵，女修吞之，生子大业。……大费拜受，佐舜调训鸟兽，鸟兽多驯服，是为柏翳。舜赐姓赢氏。”

此镜有着秦镜烙印之涡云纹地，由此可知，此器属秦镜当是毋庸置疑。此镜直径为东周尺之整11寸（误差+0.4%），在二十年前，由台北藏家购于甘肃天水，这里正是秦国的发祥之地。

寻觅多少年，有等分数字为素数的秦汉连弧镜，皆可谓是凤毛麟角、见之不易。分析其原因，必是铸制难度较大。除了表一以外，经不完全统计，其有依据的存世量仅在10面上下，详见表二。

数学是一门并非人见人爱的学科。然而，两千多年前的秦国工匠们，却将有关的数学知识实践于铜镜文化之中，使数学贴近生活，让数学变得有趣。与此同时，他们亦对世界数学史，作出了应有的一份贡献。笔者期盼通过本文，推进人们对中国传统文化的了解、关爱、赞美、传播。