初中数学开放性习题类型及解题技巧

闻春华

摘 要：开放性习题在初中数学教学中的引入是为了培养学生的数学素养和逻辑思维能力，激发学生学习数学的兴趣，提高数学教学的效率及学生的学习质量。而开放性习题的类型有很多种，常见的有条件开放性、结论开放性、策略开放性、综合开放性等等。对初中数学中存在的几种开放性习题类型进行分析，并提出相应的解题技巧，进而有效推进初中数学教学的改革。

关键词：开放性习题；解题技巧；分类讨论

一、初中数学开放性习题的特点以及作用

（一）开放性习题的特点

什么是数学开放题？对于数学开放题目前还没有一个统一的定义，但是可以总结一些开放性习题的特点，比如答案不固定、条件不完整、条件多余、条件不足、多种答案、多种解法等等，在初中数学教学中，出现了独特设计、个性开放的题目，与传统中规中矩的题目不同，开放性习题构思独特，能够培养学生的创新能力，在数学教学中最富有研究价值，是应试教育向素质教育转变的重要体现。同时，开放性习题还具有内容新颖、条件与结论不定、解题思路灵活的特点，与学生的实际生活贴近。形式也多种多样，具有可塑性，探索结论、解法，充分体现出了现代化的教学气息。还有一个明显的特征就是答案不是唯一的，需要通过多种思维观察题目，对题目进行想象、归纳、类比，挖掘多种解题方式，创新性的解题方式能够满足现代人才发展竞争要求。

（二）开放性习题的作用

1.对学生的教育作用

有利于培养学生的思维，让学生打破原有的思维模式，通过联想与想象的方式多角度进行思考，有助于学生创造能力以及思维模式的形成。开放性习题的不确定性是教师研究的主要问题，通过师生交流的形式将开放性习题融入课堂中，激发学生独立思考的能力，让学生能够构建知识形成的过程，培养学生灵活的思维能力以及创造能力。有利于激发学生的学习兴趣，通过合作的形式完成学习与竞争，让学生畅所欲言，通过实践的形式进行解题，在轻松愉快的氛围中学习，能够激发学生学习的动力，从而对学习产生浓厚的兴趣。有利于强化学生的创新意识，因为开放性习题的答案与模式不固定，学生需要调动所有的知识，用多种思维模式对问题进行探索，强化学生的创新意识与探究能力。

2.对教师的教学作用

转变教师的观念与角色，用动态式、开放式的教学理解数学知识，以学生作为教育的中心，而不仅仅是一个知识的传授者，对教学的内容进行设计，做课程的组织者与设计者，从而大大提高教学效果。

二、初中数学开放性习题类型

（一）结论开放性

结论开放性就是在既定的条件下探索对象是否真实存在，分为结论存在与不存在两种情况，解题的方法为如果结论存在，通过演绎推理的方式得出结论，从而做出准确的判断。

比如，已知⊙O的半径为5cm，弦AB//CD且AB=6cm，CD=8cm，求出弦AB与CD之间的距离。

由于题目设定的条件仅仅只有弦AB//CD，并没有指出它们与圆心O的位置关系，因此需要根据多图性画出两种不同的图形，如图1和图2所示，由图1可以求出AB与CD之间的距离为1cm；

（二）条件开放性

条件开放性题型，从结论出发，与图形相结合，考虑问题需要具备的条件，然后进行逆向思维挖掘，逐步找出解决问题的方法，这类题型考查最多的是对命题或结论的判断，重点强调题设条件的多样化。比如，在平行四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形。解答过程为：因为AB=DC，AD=BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形定理，得出四边形ABCD是平行四边形。又因为有一个角是直角的平行四边形是矩形，可以添加条件∠A=90°，或者根据对角线相等的平行四边形是矩形，添加AC=BD，这些都是符合题意的。

（三）策略开放性

在初中数学教学中策略开放性的数学题目，是指解题中所需要的条件是解题的依据和方法。计算： + + + + ，学生会出现以下几种解决方式。

（1）直接通分，相加后再约分；

（2）原式=（ + + + + ）×60× = ；

（3）原式=（1- ）+（ - ）+（ - ）+（ - ）+（ - ）=1- = 。

方法（1）属于常规性解题方法；方法（2）属于一种化归思想，但是也不简单；方法（3）转化为一些互为相反数的和进行计算，方式新颖，简单。那么解决这种问题需要采取一定的解题策略进行计算思考，总结一定的规律，教师可以进行策略性的指导，为学生在解题过程中建立一定的思维模式和知识体系。

（四）条件和结论同时开放性

条件和结论同时开放性习题，这类题型的主要特征就是条件和结论都没有给出，需要学生在应用题中将已有的信息通过合理分析推理，发现其中规律并进行结论总结。比如，在下列四个条件中，以其中两个作为已知条件，第三个作为结论，推理出一个准确的命题。如图3所示，（1）AE=AD；（2）AB=AC；（3）OB=OC；（4）∠B=∠C，条件与结论均为开放性的试题，要求自行组建命题，掌握三角形的全等判定条件，得出：（1）已知AE=AD，AB=AC，求证∠B=∠C；（2）已知AB=AC，∠B=∠C，求证AE=AD；（3）已知AE=AD，∠B=∠C，求证AB=AC。

三、開放性习题解题技巧

（一）方程（组）开放题

方程（组）开放题主要以方程和方程组作为知识背景，探索方程（组）的有解的条件和情况，求出参数的值。比如关于x的方程 = 无解，求a的值。解决这类题型时，属于“存在性”开放题，解题的一般思路为先假设满足条件的结果存在，其中有一种情况为方程有增根a=2，再根据掌握的知识进行推理，得到（a-1）x=2，原一次方程无解，a≠1，得到结果。由特殊方程转化到一般方程，寻求题目内在的规律。有时也以实际问题为背景，需数学化后建立数学模型，构建方程（组），然后再用方程（组）解的情况进行分类讨论。

（二）函数开放题

以函数知识为解题背景，探索函数解析式中字母系数的关系以及满足条件点的可能性。比如已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），如图4所示，求出图象中所显示的抛物线的特征，得到二次函数的系数存在的关系与结论。分析（1）a>0；（2）b+2a=0；（3）b2-4ac>0…这类题型屬于典型的图象信息开放题型，只有认真观察图象上给出的数据以及位置特征，灵活运用已知的函数性质，从而找出与条件相关的结论。数形结合是解决此类型重要的思想方法。

（三）几何开放题

以几何图形为背景设置几何量间的关系，如图5所示，在半径为5的⊙中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A做AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，求线段BC的长。这类问题属于条件探索型问题，△PAB是等腰三角形，可联想到（1）PA=PB；（2）AP=AB；（3）BA=BP三种思路。解决探索型的开放性习题时，一般的解答方法是执果索因，根据分类讨论思想画出符合条件的图形，必要时，需根据条件中的提示，画出辅助线，根据图形推导出需要增加的条件，为探索结论做准备，对于没有结论的问题需要进行逆向思维考虑，寻找否定结论的反例以达到解题的目的。

（四）综合性开放题

综合性开放题就是将几何、代数知识结合在一起作为背景，考验学生的分析能力以及推理能力，综合运用学过的知识进行解题。这类题型主要有两大特点，首先是知识点的综合，在一道题中涉及大量的子知识点，解题时需串联起知识链。其次是代数与几何的综合，题中既包含几何知识，又需要代数的知识。如：如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x，（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ能否与△CQB相似，若能，求出AP的长，若不能，请说明理由.

这类问题看似是几何图形问题，通过分析题意可知，它包含的知识点有动点问题、两线平行、特殊三角形、相似三角形、方程等。在（2）中，利用图中不同的等量关系，列出方程，把图形问题转化为方程问题来解题。这类综合性开放题经常出现在中考压轴题中，它是中考复习的一个重点。解题时，既要关注图形的特征，又要理解它与方程、函数之间的联系。解题思想方法上，不能用单一的方法，而是需将数形结合、分类讨论等各种思想方法综合，才能逐步得出结论。

总之，开放性解题实例，对初中数学开放性解题技巧进行总结，从问题中给出的特殊的点、数、线段或者角探索问题，寻找题目中存在的客观规律，进一步挖掘问题的本质，然后进行总结、概括。利用类比、归纳的解题方法，与相似题目的解题方法进行联想，通过类比寻找解决问题的途径。对问题进行分类概括，如果遇到命题的条件与结论无法统一解答时，根据可能出现的情况分类求解，在进行分类解题时不能出现重复和遗漏的情况，有方法地进行分类，最后将得出的结果进行归纳，得到问题答案。通过验证推理的方法，假设问题中存在对象，根据题意对问题进行构造推导，最后利用题设中的条件进行说明，对得出的结果进行肯定或否定，找到解题方法，得出结果。要想提高学生开放性的解题能力，需要在平时的教学中对学生的思维进行培养，加强学生的数学基础以及对数学知识的理解，在脑中建立清晰的数学解题思维，为解决开放性试题奠定坚实基础。

综上所述，通过笔者对初中数学开放题的研究，积累了一定的解题经验，并在平时的教学中进行实践，激励学生积极主动探索数学认知规律，使数学学习氛围焕发新的活力，真正实现素质教育，让不同的学生得到不同的发展。所以开放性习题在数学教学中的出现正是今后学习的重点，教师要充分正视数学教学工作中学生数学素养和逻辑思维能力的培养，努力实现初中数学的教学目标，把教学改革推上一个新的台阶。

参考文献：

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编辑 赵飞飞