矩阵和行列式的几何意义及其应用

陆昭昭

【摘要】矩阵和行列式对于向量空间的研究十分重要。本文首先给出了矩阵和行列式的定义，并介绍了矩阵及行列式的基本计算法则；然后基于矩阵的基本计算，探究了两个基本的几何变换（旋转和伸缩）及其对应的矩阵形式及参数；最后给出了几个典型的应用场景：求曲线旋转后的解析表达式、根据解析表达式确定曲线的位置。

【关键词】矩阵 行列式 伸缩旋转 解析几何

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）03-0148-02

1.引言

高中数学虽不涉及矩阵和行列式，但其解析几何、多元方程组的相关知识可以与矩阵建立较强的联系。通过对矩阵及行列式的定义进行研究并探究其几何意义，可以为一些解析几何问题提供新思路[1，2]。

伸缩和旋转是两类典型的几何变换，利用矩阵乘法可以建立初始向量和变换（伸缩或旋转或两者的组合）后向量的关系，在向量空间中伸缩和旋转变换均可以和相关矩阵相对应。基于这一想法，本文探究了伸缩和旋转变换的具体矩阵形式和参数。并探究了这一结果在解析几何中的应用。本文在第二部分主要介绍了一些基本概念和基本运算法则，并从向量空间的相关概念出发，将矩阵乘法和伸缩旋转等几何变化过程联系起来。在第三部分主要给出了这一几何意义在解析几何问题中的应用。

2.矩阵及行列式的基本概念

2.1矩阵的基本概念及运算

矩阵的本质是一个表格，由m×n个数组成。

A=

矩阵A可简写为（a ） 。当m=n时，矩阵是一个方阵。当m=1时，矩阵有1行n列，称之为行向量。当n=1时，矩阵有m行1列，称之为列向量[1]。向量是特殊的矩阵，了解这一特性有助于对后续相关理论的推导。

矩阵可以进行加法和乘法计算：

A+B=（a ） +（b ）

A=（a ） B=（b ）

AB=（c ）

c = a b （i=1，…m；j=1，…n）

可以看到，矩阵的加法是将两矩阵对应元素分别相加。矩阵的乘法则是根据“左行乘右列”的法则，进行m×n次相乘及求和的计算，形成一个新的矩阵。特别地，如果是行向量乘以列向量，那么新的矩阵是一行一列，也就是一个数，这个数等于两个向量的内积。

2.2矩阵的行列式

行列式是与矩阵相关的一个概念。只有方阵（行数与列数相等的矩阵）存在行列式。n阶方阵A=（a ） ，其行列式det（A）或|A|的定義为

det（A）= （-1） a ，a …a

|A|= （-1） a ，a …a

二阶行列式的表达式为：

A=a bc d |A|=ad-bc

行列式与矩阵的乘法运算具有如下关系：

|AB|=|A||B|

2.3逆矩阵与转置矩阵

如下所示，单位矩阵E是矩阵对角线上全为1的矩阵

E=

单位矩阵具有特殊的性质，它类似于实数运算中的“1”，类比来看，相乘等于1的两数互为倒数。相乘为单位矩阵的两个方阵互为逆矩阵。A的逆矩阵写作A

AB=E B=A

将一个矩阵的行列颠倒形成，形成的矩阵为转置矩阵，记为A ， 若A是方阵，则它转置后对角线元素不变，且行列式不变。两矩阵相乘后的转置有（AB） =B A ，这一性质可以由矩阵“左行乘右列”的法则推导出来，且在后续的应用探究中有很大的作用。

A= A =

|A||A | （AB） =B A

2.4矩阵和行列式的几何意义探究

对矩阵的乘法运算进行进一步探究和分析。可以看到，n维行向量乘以n阶方阵，可形成新的n维行向量。换言之，向量通过矩阵乘法变成一个新的向量。受此启发，可以用矩阵刻画向量的变换。

首先考虑伸缩变换，伸缩变换可以简单理解为将某一向量x、y轴的坐标分别扩大某一倍数。经过简单推导，伸缩变换对应的矩阵可以写为T。

T=a 00 b

A=[x y] AT=[ax by]

考虑旋转变换，一个向量A绕原点逆时针旋转θ形成A′，根据高中数学中极坐标和三角函数的相关理论可以做出如下推导

A=[x y] x=rcosα y=rsinα

A′=[x′ y′] x′=rcos（α+θ） y′=rsin（α+θ）

[x′ y′]=[rcosαcosθ-rsinαsinθ rsinαcosθ+rcosαsinθ]

=[xcosθ-ysinθ xsinθ+ycosθ]

=[x y]cosθ sinθ-sinθ cosθ

根据上述推导，二维矩阵进行顺（逆）时针旋转变换的矩阵[3，4]可以写为

R1=cosθ sinθ-sinθ cosθ（逆时针） R2=cosθ -sinθsinθ cosθ（顺时针）

求取上述两个矩阵的行列式及逆矩阵，可得

|R1|=|R2|=1 R1R2=E

具体地，其一，R1行列式为1，从几何意义上来看，将一个向量进行旋转，它的模长不变；其二，R1 R2相乘为单位矩阵（即两者互为逆矩阵）。从几何意义上来看，将一个向量相继顺时针和逆时针旋转相同角度，该向量不变（作用等同于单位矩阵）。

3.应用探究

3.1 求曲线旋转后的解析表达式

将双曲线x2-y2=1顺时针旋转θ（锐角，tanθ=3/4），探究旋转后曲线的解析式及旋转后渐近线的表达式。

写出顺时针旋转θ的旋转矩阵，即

R=cosθ -sinθsinθ cosθ= 4/5 -3/53/5 4/5

旋转后的曲线坐标[x′ y′]与原始的双曲线有如下关系

[x y]R=[x′ y′]

[x y]=[x′ y′]R-1

=[x′ y′]4/5 3/5-3/5 4/5

根据矩阵乘法及双曲线的原表达式，可以得到旋转后的双曲线解析表达式。

x=4/5x′-3/5y′y=3/5x′+4/5y′？圯7x2-7y2-48xy=25x2-y2=1

原双曲线的渐近线为y=±x，可以得到其直线的方向向量，通过对直线的方向向量进行旋转变换，可以得到旋转后的两条渐近线。

[1 1]4/5 -3/53/5 4/5=[7/5 1/5]？圯y= x

[1 -1]4/5 -3/53/5 4/5=[1/5 -7/5]？圯y=-7x

可以看到，我们可以通过旋转矩阵（及其逆矩阵）构造两条双曲线之间的关系，进而求得具体解析表达式。新的解析式有交叉项xy，这比规整（焦点在坐标轴上）的圆锥曲线解析式更为复杂。旋转后，两条渐进线仍然保持了互相垂直的特性，这说明旋转变换不会改变曲线的相对位置。

3.2 根据曲线解析表达式求曲线的位置

已知圆锥曲线的方程为9x2+11y2=2 xy=24，求其焦点坐标。

该圆锥曲线的二次项系数均大于0，判断它是平面上的椭圆。根据3.1的相关结论，解析式中有交叉项xy，其焦点并不在坐标轴上。又根据第二章的推导，任一椭圆均可由单位圆进行伸缩和旋转变换得到。那么对任意椭圆进行逆变换（即反向旋转和伸缩），同样可以得到单位圆。基于两个结论，我们设单位圆上的点为[x0 y0]，有

x02+y02=1

[x0 y0]=[x y]A

对椭圆进行旋转、伸缩变换得到单位圆。因此变换矩阵A是旋转矩阵与伸缩矩阵的复合，将它写成旋转矩阵与伸缩矩阵相乘的形式

A=cosθ -sinθsinθ cosθa 00 b

将单位圆方程x02+y02=1写为矩阵形式，并利用[x0 y0]=[x y]A做相应推导

x02+y02=1

？圳[x0 y0][x0 y0]T=1

？圳[x y]A（[x y]A）T=1

？圳[x y]（AAT）[x y]T=1

將椭圆方程写为矩阵形式

9x2+11y2=2 xy=24

？圳 [x y]9 11[x y]T=1

两式形式一致，可得

AAT=cosθ -sinθsinθ cosθa 00 ba 00 bcosθ sinθ-sinθ cosθ

= 9 11

由第二部分矩阵相乘与行列式的关系

AAT=cosθ -sinθsinθ cosθa 00 ba 00 bcosθ sinθ-sinθ cosθ

=1·ab·ab·1=9/24 /24 /24 11/24=1/6？圯a2b2=1/6

又由三角函数相关理论得

AAT=cosθ -sinθsinθ cosθa 00 ba 00 bcosθ sinθ-sinθ cosθ

=a2cos2θ+b2sin2θ … … a2sin2θ+b2cos2θ

=9/24 … … 11/24？圯

（a2cos2θ+b2sin2θ）+（a2sin2θ+b2cos2θ）=9/24+11/24a2+b2=5/6

计算可得a， b， θ的一组解

a= b= θ=-π/6

根据本文2.4的相关分析， A代表着如下的旋转、伸缩过程：将图形（椭圆）顺时针旋转-π/6；将图形（椭圆）横纵坐标分别缩小 ， 倍。那么我们考虑其逆变换，将单位圆横纵坐标分别扩大相应倍数，得到一焦点在x轴上的椭圆。其焦点坐标为[±1 0]。再顺时针旋转π/6，则该椭圆的焦点坐标应为[± /2 1/ ]。

可以看到，在这个应用探究中，我们利用了将二次解析式转化为矩阵形式表达的技巧。巧妙地利用AAT这一对称矩阵刻画了单位圆与任意椭圆之间的关系，将该探究问题转化为一个求相关参数的代数问题，体现了数形结合的思想。在计算过程中，我们利用第二章所述的行列式概念及相关性质，配合运用三角函数的恒等式简化了计算过程，提高了计算效率。

4.结语

本文基于矩阵和行列式的基本概念，建立了向量变换与矩阵、行列式的联系。并对简单几何变换（伸缩和旋转）对应的矩阵及其相关参数进行了深入的分析、探究，并做了相关推导和计算。利用这一结果，给出了两类典型解析几何问题的求解思路，即构造简单曲线与复杂曲线之间的矩阵关系，利用矩阵乘法的相关法则定量刻画曲线间的关系。本文所提解决方法思路清晰，有较大的实用价值。

参考文献：

[1]张远达.线性代数原理[M]. 上海教育出版社， 1980.

[2]杨德贵.高等代数与解析几何一体化教学改革的探索[J].贵州师范大学学报（自然科学版）， 2005（4）：101-104.

[3]赵天奇，陈东海.旋转矩阵及其应用[J]. 中原工学院学报， 1994（1）：72-75.

[4]许永平.旋转矩阵的概念与一些结论[J]. 江苏开放大学学报， 1997（2）：81-83.