分类讨论思想在几何中的应用

黄学芳

分类讨论是一种重要的数学思想方法，也是一种解题策略。笔者以人教版数学八年级上册《等腰三角形中的分类讨论》教学片段为例，具体谈谈分类讨论思想在教学中的应用。

师：等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求三角形各内角的度数。

生1：等腰三角形一腰上的高与另一边的夾角为25°，说明一腰上的高与另一腰的夹角为25°，而这时又分为腰上的高在三角形的内部和外部两种情况。

生2：还有一种情况， 一腰上的高与另一边的夹角为25°，另一边在这里还有可能是底边。

师：大家根据这两位同学的建议，在草稿纸上画图思考。

（学生画图如下。）

师：遇到这种类型的题，首先要对另一边进行理解。这里的“另一边”说明了条件不确定，也就是说有可能是底，也有可能是腰。

师：请看下一题。在直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），在坐标轴上找一点P，使得△OAP为等腰三角形。你可能找到几个点？你能写出它的坐标吗？

（学生独立思考，教师巡查发现学生找点思路不是很清晰，只有少数学生对怎么分类找点很清楚。教师点名提问。）

师：P点你能找到几个？

生1：有8个这样的点。

师：请说明你是怎样找出来的？

生1：以O点为圆心，OA长为半径画弧，这样就与坐标轴有4个交点，这样就找到了4个P点。

师：请说明你的依据。

生1：我把点O作为角的顶点，那么OA就是其中一腰，OP是另一腰，即OP=OA。

师：非常好，你的思路很清晰，请继续。

生1：再以A点为圆心，AO长为半径画弧，与两坐标轴交于两点，这样做是以点A为顶角的顶点，那么AP=AO；最后做线段OA的中垂线，交坐标轴于另外两点，这是把P点作为顶角的顶点，那么PO=PA，P点应在OA的中垂线上，这样就找出了8个点。

（教师带头鼓掌，教室里再次出现了热烈的掌声。）

师：请同学们再在图上找一找，思考你没有找完整的原因。

生2：我没找完整，是因为分类不够清楚，思维比较模糊，没考虑以A为顶点、OA为腰的情况。

生3：我没有考虑OA为底的情况。

最后，师生小结解分类讨论问题的一般步骤。①分类的原因：条件或结论不确定。②分类的标准：对不确定的条件或结论进行合理分类；③逐类讨论：对各类问题详细讨论，逐步解决。④检查总结：将各类情况总结归纳。

（作者单位：宜昌市五峰土家族自治县渔洋关镇中学）

责任编辑 孙爱蓉