高中数学章节起始课的教学实践与思考

【摘 要】章节起始课是新课程改革和教材变革的产物。从教学时間来看，它应该是一个新的章节开展教学的第一节课；从教材内容来看，它必须包含章节起始内容；从教学内容来看，它必须突出章节的核心知识或核心研究方法；从教学结果来看，它必须能帮助学生自主构建知识结构与认知结构。数学章节起始课既要体现数学教育的本质，同时也要充分体现教育的社会目标并符合教育规律。

【关键词】章节起始课；数列；知识结构；认知结构；教育规律

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2019）03-0029-04

【作者简介】罗建宇，江苏省张家港市沙洲中学（江苏张家港，215600）副校长，高级教师，苏州市优秀教育工作者，苏州市学科带头人。

随着新课程改革的不断推进，涌现出了越来越多的新课型，章节起始课就是其中之一。笔者认为，章节起始课并不能简单认为是每一章的第一节课，章节起始课要能发挥引领学生学习的作用，应将章节起始内容纳入常规教学之中。考察当前的数学课堂教学，章节起始内容并未作为常规课内容进行教学。一方面，一部分教师认为高中内容多，课时紧，没有必要教这部分内容，而且教和不教效果可能差别不大；另一方面，有些教师虽然也关注到了章节起始内容，但却不知如何将其作为教学内容开展教学。笔者围绕“章节起始内容”展开了系列研究，形成了自己的一些认识和思考，现以普通高中课程标准实验教科书必修5“数列”的章节起始内容的分析与教学为例，谈谈笔者的认识和思考，敬请同行指正。

一、“数列”章节起始内容的梳理和教学设计的思考

在进行“数列”一章的章节起始内容的教学之前，笔者对各个版本教材的章节起始内容作了梳理工作，具体如下。

1. 关于章头图的梳理。章头图一般都与本章的主题相关，同时体现数学美。各版本教材数列章节的章头图梳理如下：人教A版教材章头图有树木的分杈、花瓣的数量、种子的排列；苏教版教材章头图有鹦鹉螺壳花纹的排列；人教B版教材章头图有兔子繁衍问题（斐波拉契数列）和带棋盘的国际象棋（传说的故事与等比数列有关）。笔者在课堂小结时展示了这些图片（见本文教学设计“课堂小结”部分）说明其与后续学习的关系，并用几何画板展示了斐波拉契螺线，让学生感受其蕴涵的数学美。

2. 关于章头语和名人名言的梳理。章头语和名人名言一般都能揭示数学概念的由来。人教A版教材章头语说道：“对数列的研究源于现实生产、生活的需要。从数学概念的发展看，数列是定义在正整数集或其有限子集的函数，是刻画离散过程的重要数学模型。”苏教版教材章头语引用了德国数学家希尔伯特的话：“数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正在于各部分之间的联系。” 函数概念发展的早期与数列有极其重要的联系，数列是定义域特殊的函数，它也具有单调性，这些都有利于对函数的理解。

3. 关于章头诗词的梳理。湘教版教材最大的特点是每一章有一首章头诗。经与教材作者确认，“数列”一章的章头诗由中科院张景中院士所作，内容是：玉兔子孙世代传，棋盘麦塔上摩天；坛坛罐罐求堆垛，步步为营算连环；数列寻根属函数，自成一格意盎然；等差等比初学步，登堂入室看来年。这首诗不仅涵盖了数列一章的主要知识，而且与笔者设计的本节课内容非常吻合，因此借用张院士所作的章头诗作为本节章节起始课教学的压轴内容。

二、“数列”章节起始课的教学设计

情境1：古诗欣赏《山村咏怀》（别名《一去二三里》）： 一去二三里，烟村四五家，亭台六七座，八九十枝花。诗中所涉及的数字依次是？

情境2：传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数。

图1三角形点阵表示三角形数，它们表示的数字依次为？

情境3：《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为？

情境4：将π的不足近似值按小数位数从少到多的次序排成一列数，依次是？

【设计意图】章节起始课是每章的第一节课，应利用大量丰富的情境引导学生感知本章的研究主题，因此笔者借助四个情境，引导学生从中抽象出数列的概念，这些数列分别与等差数列和等比数列，有穷数列和无穷数列，递增数列和递减数列，能写出通项的数列和不能写出通项的数列等有关，为本节课后面学习的概念建构作铺垫。

学生活动1：按照定义，你能否举出一些数列的例子？

学生活动2：（大家来找茬）这张填涂的答题卡上，从数列的角度看，为什么错了？

【设计意图】活动1意图让学生进一步体会数列的概念，借丰富具体的数列例子（可引导学生写出一个常数列），与问题情境中抽象出来的数列一起，作为即将学习的特殊数列。活动2让学生用数列的知识解决学习生活中碰到的实际问题。以上情境和活动旨在让学生体会用数学的眼光观察、用数学的思维分析和用数学的语言表达，进一步让学生明确本章的研究主题。

例1 已知数列的第n项an记为2n-1，写出这个数列的首项，第2项和第3项。

练习：已知数列{an}的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象。（1）an=■；（2）an=cosnπ。

【设计意图】章节起始课还有一个特点：揭示本章的研究方法。通过例1给出数列通项公式的概念，并引导学生认识到数列的通项公式可看成数列的函数解析式，引导学生从函数的观点来理解数列。练习既是对例1的巩固，加深从函数的角度理解数列，又与例1（递增数列）互补，添加了递减数列和摆动数列案例，并将递增数列和递减数列用数学的语言进行表示。进一步揭示本章的研究方法：用函数的观点来研究数列问题。

例2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数。（1）-■，■，-■，■；（2）0，2，0，2。

【设计意图】让学生会寻求满足条件的通项公式。其中，第（1）問中用（-1）n来控制符号，且1与-1相差为2，为第（2）问写出通项公式an=1+（-1）n作铺垫，结合例1的练习（2），说明数列的通项公式不唯一。

课堂小结：

1.数列的有关概念。

（1）从函数的角度看数列，理解数列的概念和性质（单调性）；

（2）辨析：若an=0，n=1，32，n=2或n≥4则{an}是否为数列。

2.我们为什么学数列？

从数学知识内部看，数列是特殊的函数，是刻画离散过程的重要数学模型，函数概念发展的早期与数列有极其重要的联系。因此，苏教版教材章头语引用了数学家希尔伯特的话。人教A版教材章头语也指出：数列的知识也是我们将来学习高等数学的基础。

人教A版教材章头语还说道：对数列的研究源于现实生产、生活的需要。事实上，生活中树木的分杈、花瓣的数量、种子的排列等都与斐波拉契数列有关。以斐波拉契数列的每个值为半径依次作四分之一圆弧并衔接起来即为斐波拉契螺线（苏教版教材中鹦鹉螺壳花纹）。它的前后项之间的关系（递推关系）为an+2=an+an+1，a1=a2=1，并能推出其通项公式为an=■[（■）n-（■）n]，其中■，■都与黄金比有关。

3.高中数学中数列学什么？

“数列”一章中，重点学习等差数列和等比数列有关知识，并对一般数列可在已知数列的递推公式或者前n项和公式的基础上求其通项公式，以及在已知特殊数列的通项公式的基础上求其前n项和Sn。“数列”一章的学习内容，正好汇成中科院张景中院士在湘教版教材上的章头诗：玉兔子孙世代传，棋盘麦塔上摩天（斐波拉契数列、等比数列等模型）；坛坛罐罐求堆垛，步步为营算连环（数列求和及递推）；数列寻根属函数，自成一格意盎然（数列概念的函数本质及特性）；等差等比初学步，登堂入室看来年（重要的数列模型，等差等比数列是高中学习数列的重点）。

【设计意图】章节起始课应为研究内容与研究方法的有机融合。在课堂小结阶段，第1点为知识的小结。第2，3点的设计基于章节起始内容渗透数学文化，彰显诗意课堂，并通过对知识和方法的介绍引领整章的学习。

三、章节起始课的系列思考

1.章节起始课的内涵剖析。

分析相关文献不难发现，有的研究者仅仅将章节起始课定位于每一章的第一节课，开门见山地讲解教材每一章第一节的内容，采用的仍然是传统的教学方法，并未发挥章节起始课的独特价值与功能，并没有体现章节起始课“谋好篇、定好调、开好局”的重要意义。笔者认为，章节起始课的内涵至少应该包括以下几个方面：第一，从教学时间来看，它应该是一个新的章节开展教学的第一节课；第二，从教材内容来看，它必须包含章节起始内容；第三，从教学内容来看，它必须突出章节的核心知识或核心研究方法；第四，从教学结果来看，它必须能帮助学生自主构建知识结构与认知结构。

2.章节起始课的设计原则。

一节有效的高中数学章节起始课的教学价值必须依托于教学设计才能得以实现，因此，教学设计是章节起始课教学价值得以彰显的重要行为。笔者认为，设计章节起始课的基本要求可以提炼为一个宗旨、两个基点。

一个宗旨，即构建良好的知识结构和认知结构。章节起始课的有效开展对学生知识结构的形成、发展和完善具有重要意义。同时，通过后续课程的学习，学生可以不断对该知识结构进行扩展、修正、完善，最终形成完整的知识结构。因此，在进行章节起始课的教学设计时，应考虑以下问题：如何整体性地处理本章数学知识，以增强数学知识的结构化？在章节起始课的教学过程中，应该以何种方式呈现这样的知识结构？呈现哪些部分？进行章节起始课的教学过程中，如何才能帮助学生在头脑中能形成良好的认知结构？

两个基点，即数学教育的数学方面与教育方面。在数学方面，必须以数学学科的科学性作为基点。数学教育家项武义先生曾指出，“我们的数学课堂教学正在去数学化”。数学教育，自然是以“数学”内容为核心。数学课堂教学的优劣，自然应该以学生是否能学好“数学”为依归。因此，在进行章节起始课的教学设计时，应能体现本章的数学知识，应能渗透一些本章所涉及的数学思想和数学方法，应能呈现一些本章的数学知识的实际应用价值，应能突出一些本章数学知识的本然或来龙去脉。在教育方面，但凡进行教学设计，必须以学生的可接受性和学生的已有认知作为基点。在进行章节起始课的教学设计时，必须考虑学生的已有认知，以学生的已有认知来建立新旧知识之间的本质联系，如此才能使得探求新知成为可能。

【参考文献】

[1]何睦.高中数学章节起始课的教学研究[J].数学通讯：教师阅读，2017（7）：20-24.

[2]罗建宇.构建数学文化课堂，落实核心素养教育[J].数学通讯：教师阅读，2018（10）：9-13.

[3]喻平.发展学生学科核心素养的教学目标与策略[J].课程·教材·教法，2017（1）：48-53.