从统计概率的命题趋势看“数学学科核心素养”的考查

☉浙江省慈溪市浒山中学 王成维

《普通高中数学课程标准（2017年版）》中强调：突出数学素养，在数学课程逐渐展开的过程中，促进学生数学学科核心素养的形成和发展.教育部考试中心发布的2018年高考数学考试大纲中也明确指出：数学学科的命题，要“努力实现全面考查综合数学素养的要求”.

因此，在对高考命题趋势进行分析时，不能忽视对核心素养的考查.关注了核心素养考查的变化趋势，也就是关注了高考的命题趋势.近几年高考的命题趋势表现在对数学学科核心素养的考查越来越多、越来越明显，如对概率统计的综合考查，每年一道解答题，2016年以前的高考概率统计问题的题干较简洁、条件较直白，主要考查学生对知识的掌握程度；而从2016年开始，概率统计高考题则更注重情景设置，更贴近生活，使学生在解题的过程中认识到概率统计知识在生产、生活中所起的作用.这个过程充分体现了数学学科核心素养在考题中的渗透，如2018年高考全国卷Ⅰ的理科试卷将概率统计试题移至第20题的位置，增加了学生的阅读量.

在复习备考时，关注试题对数学学科核心素养的考查，也能为复习备考提供一定的思路.概率统计模块在2018年高考全国卷中对数学学科核心素养的考查如表1：

表1

全国卷Ⅲ 18直观想象，数学运算，数据分析题目提供茎叶图和列联表，以此为背景，首先通过对茎叶图中的数据进行分析，对两种不同生产方式的效率作出比较、判断，进而依据数据完成列联表，并利用独立性检验对两种生产方式的效率是否有差异作出判断，这个过程充分体现了学生的直观想象、数学运算、数据分析等素养，培养学生的数学应用意识，需要很强的数据处理能力.

由表1可以看出，虽然数学学科核心素养在考题中的考查得到强化，但不同知识点的核心素养还是有规律可循的，如对离散型随机变量的分布列、独立性检验等的考查，往往考查数据分析素养；对线性回归方程的考查，主要考查数学建模素养，只有建立正确的模型，问题才能迎刃而解；而对数学运算的考查，则渗透在整个问题解决的过程中.

例1（2018年高考全国卷Ⅰ理20）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立.

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为（fp），求（fp）的最大值点p0.

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

解析：（1）由独立重复事件的概率计算得20件产品中恰有2件不合格品的概率（考查数学建模）

令f′（p）=0，得p=0.1.当p∈（0，0.1）时，f′（p）＞0，f（p）单调递增；当p∈（0.1，1）时，f′（p）＜0，f（p）单调递减.所以f（p）的最大值点为p0=0.1.（考查数学运算）（2）由第（1）问可知p=0.1.

（i）令Y表示余下的180件产品中不合格品的件数，根据题目条件可知Y～B（180，0.1）.（考查数学建模）

X=20×2+25Y，即X=40+25Y.所以EX=E（40+25Y）=40+25EY=490.（考查数学运算）（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为200×2=400（元）.

由于EX＞400，故应该对余下的产品作检验.（考查数据分析）

评注：本题是概率统计知识的实际应用问题，数学味道正，生活气息浓，将知识、能力、思想、方法融为一体，突破的关键在于读懂题意，运用所学的数学知识，合理地选择有效的运算策略.本题将独立重复试验的概率与函数、导数知识有效结合，主要考查了概率统计中的重要概率分布模型：二项分布.综合考查了数学建模、数学运算、数据分析等数学学科核心素养.问题解答中要求考生对基本模型、基本原理和基本思想有较深入的理解.

例2（2018年全国卷Ⅲ理第18题）某工厂为了提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人.第1组工人用第一种生产方式，第2组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了茎叶图（如图1所示）：

图1

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高，并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

表2

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

表3

解析：（1）第二种生产方式的效率更高.可通过如下方式进行判断：

①由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，而用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟，因此第二种生产方式的效率更高.

②由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成任务所需时间的中位数为73.5分钟，因此第二种生产方式的效率更高.

③由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间关于茎7大致呈对称分布，因此第二种生产方式的效率更高.

（考查直观想象、逻辑推理和数据分析等数学学科核心素养）

列联表如下：

表4

评注：本题以茎叶图为载体，对两种不同生产方式的工作效率进行比较、分析、判断，这一过程考查考生逻辑推理和数据分析的数学学科核心素养，通过利用独立性检验判断两种生产方式的效率差异程度，考查考生数学运算这一核心素养，培养考生的数学应用意识，提升考生的数据处理能力.

促进学生数学学科核心素养的形成和发展，是数学教学和高考深化改革的要求.它不应成为我们追求“时尚”的代名词，也不应是一句空洞的口号，而应该扎扎实实地落实在数学教学中.因此我们要充分利用“概率、统计”这样一个良好的载体，在通过分析高考真题命题规律和趋势的同时，特别关注数学学科核心素养在真题中的渗透，以此来促进学生数学学科核心素养的形成和发展.W