“数 与 式”易错点分析

张 卫

“数与式”是九年级同学进入第一轮综合复习阶段要面对的第一部分，从现在开始，我们要站在更高的层面上，更综合地梳理各个知识点。“数与式”看起来相对简单，但由于概念的混淆、内容的遗忘、方法的错选等原因，同学们在许多考题中还是会产生一些易错点，值得我们多加关注。

一、概念有误易出错

“数与式”中的概念相对多且杂，清楚概念是正确解题的最基本要求。

A.2 B.3 C.4 D.5

【解析】根据分式的定义对上式逐个进行判断，其中中的分母含有字母，是分中的分母不含字母，因此不是分式。故选A。

【点评】本题主要考查对分式的定义是否清楚。形如（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式。特别要注意，π不是字母，不是分式，这个易误认为分式。另外，符合分式的定义，不能将其化简成5x而错误地认为它不是分式。

例2计算：（π-3.14）0-+（-1）-1+cos45°。

【点评】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简和特殊角的三角函数值4个考点。在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。其中（-1）-1是求-1的倒数，结果为-1，不少同学会误认为结果为1而出错。另外，|-2|=2也是易出错的考点。

二、考虑不周易出错

在平时练习中，经常有同学在解题过程中只顾其一，不顾其二，造成问题解答不完整或解答错误。进入中考复习阶段，我们需要对此多加梳理，找出自己的薄弱点。

例3化简：

【解析】

【点评】本题重点考查异分母分式加减运算，通分是关键。很多同学会将作为最后结果而出错。这里需要注意，最后结果必须是最简分式，能约分的一定要约分。另外，一些同学经常会把这一步误写成而出错。

例4若最简二次根式与3是同类二次根式，则x=_______。

【解析】由题意得：x2-4x=10-x，

解得：x=5或x=-2。

当x=-2时，不满足“最简二次根式”这个条件，故舍去。故答案为：5。

【点评】本题考查同类二次根式的知识。根据同类二次根式的被开方数相同，可得出关于x的方程，解出即可。但同学们一定要注意，在解题时要全面考虑，求出x之后检验是否满足题意，以免出错。

三、未用“整体”易出错

“整体代入”思想是中考数学中最常考查的数学思想，经常结合方程、函数等知识点出现。

例5已知x是一元二次方程x2+3x-1=0的实数根，求代数式：的值。

【解析】∵x2+3x-1=0，

∴x2+3x=1，即x（x+3）=1。

【点评】解决本题的关键是把代数式化简变形成与已知条件有关的形式。需要注意的是，本题中如果解出方程x2+3x-1=0的实数根，再代入求值，不仅难度大大增加，而且极易出错。例6设反比例函数y=-2的图像与一次

x函数y=-x+3的图像交于点（a，b），则_____。

【解析】把（a，b）分别代入y=-和y=-x+3，

∴ab=-2，a+b=3，

【点评】利用反比例函数与一次函数的交点问题，把（a，b）分别代入两个解析式，可得到ab=-2，a+b=3，再把所求的代数式通分，然后利用整体代入的方法计算。同学们经常把两个函数关系式联立成方程组求解，再代入求值，这样也能求解，但出错的可能性会大大增加。

四、理解不透易出错

中考越来越关注同学们对数学的真正理解、应用的能力，常见的考查方式是新定义问题及阅读理解类问题。这类问题必须在已有知识、能力的基础上理解透彻后才能顺利解决，不然极易出错。

例7有一个运算程序，可以使：a⊕b=n（n为常数）时，得（a+1）⊕b=n+1，a⊕（b+1）=n-2，现在已知1⊕1=2，那么3⊕3=_______。

【解析】现在已知1⊕1=2，求3⊕3，相当于求a增加2、b增加2后的结果。结果就是在2的基础上增加2，又减少4，即2+2-4=0。

【点评】这是一个典型的新定义类问题，解答此类题目一定要认真观察和分析数据，从中找出规律。a⊕b=n（n为常数）时，由（a+1）⊕b=n+1，可知当a增加1的时候，结果增加1；由a⊕（b+1）=n-2，可知当b增加1的时候，结果减少2，相当于b增加多少，结果就减少2倍的增加数。由此可知a、b增加对结果的影响，根据此规律可解题。

例8 【知识生成】通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式。

（1）如图1，根据图中阴影部分的面积可以得到的等式是：______________________。

图1

【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式。如图2是边长为a+b的正方体，被如图2所示的方式分割成8块。

图2

（2）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为：_________________________________。

（3）已知a+b=3，ab=1，利用上面的规律求a3+b3的值。

【解析】（1）∵阴影部分的面积=大正方形的面积-中间小正方形的面积，即：（a+b）2-（ab）2，

又∵阴影部分的面积由4个长为a，宽为b的小长方形构成，即：4ab，

∴可得到等式：

（a+b）2-（a-b）2=4ab。

（2）大正方体被切割成了8个小正方体或长方体，故先求它们的体积和，再直接求大正方体的体积，即可得到需要的恒等式。

∵8个小正方体或长方体的体积之和是：a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3，

∴（a+b）3=a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3，

∴（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3。

（3）∵由（2）可知（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，

∴a3+b3

=（a+b）3-3a2b-3ab2

=（a+b）3-3ab（a+b），

将a+b=3，ab=1代入上式可得：

a3+b3=33-3×1×3=18，

故a3+b3的值为：18。

【点评】本题主要考查了平方差、立方和公式的几何背景，用分割求解和整体计算可解决。