恰当“消元”，舍繁取简

陈 超

二元一次方程组是初中代数的重要组成部分，是中考数学的必考知识点。二元一次方程组的解法在中考中的要求是“掌握”，即要求掌握其解法的本质规律，并能解决综合性较强的或较为困难的问题。而二元一次方程组的解法有“代入消元法”和“加减消元法”，其本质是运用消元思想，从而实现“二元”向“一元”的转化。解一个二元一次方程组，既可以运用代入法，也可运用加减法。通过观察方程组中相同未知项的系数特征，进而恰当地“消元”，往往能使计算简便，提高正确率。下面通过几道例题，希望能帮助同学们体会到恰当“消元”的奥妙。

一、宁“加减”，勿“代入”

例1解方程组

【解析】在这个二元一次方程组中，存在一个未知数系数为1，故可以选择对此方程加以变形。用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，代入到另一个方程中，将二元一次方程转化为一元一次方程，解这个方程，再回代求解另一个未知数，这是用代入法解此方程组；在这个方程组中，存在一个未知数系数相同，也可以将两个方程相减，消去一个未知数，从而把二元一次方程转化为一元一次方程，这是用加减法解此方程组。

解：方法一（代入法）。

由①，得y=12-x。③

将③代入②，得2x+12-x=20。解这个一元一次方程，得x=8。

将x=8代入③，得y=4。

方法二（加减法）。

由②-①，得x=8。

将x=8代入①，得8+y=12，所以y=4。

【点评】从这个方程组中的未知数系数的特征看，解此方程组既可以用代入法也可以用加减法。但从两种解法的具体过程看，很显然加减法要略显简洁。如果在用代入法时先消去的是x，则得2（12-y）+y=20，那么这里就会涉及去括号，显得更加麻烦，增加了出错的可能性，故面对此类情况，同学们要首选加减法。

例2解方程组

【解析】解二元一次方程组的基本思想是消元，当某一未知数的系数较简单时（如±1），才可以选择代入法，否则计算会很繁琐。本题选择加减法。

解：①×4，得12x+20y=100。③

②×3，得12x+9y=45。④

③-④，得11y=55，所以y=5。

将y=5代入①，得3x+5×5=25，所以x=0。

【点评】用加减法解这个方程组，既可以消去x，也可以消去y，首选消去要乘的倍数少的未知数。

二、宁“加”，勿“减”

例3解方程组

【解析】通过观察这个方程组中的未知数系数的特征，可以得出解此方程组用加减法较简单，但不论消去哪个未知数都需要对两个方程进行变形。若消去x，则会涉及减法，符号变化较多，容易出错；若消去y，则只涉及加法，符号变化较少，所以选择消去y，计算时出错的可能性较小。

解：①×3，得15x+18y=48。③

②×2，得14x-18y=10。④

③+④，得29x=58，所以x=2。

将x=2代入①，得5×2+6y=16，所以y=1。

【点评】当解方程组时，在确定用加减法之后，若存在两个方程中相同未知数系数的符号相反，一般选择用“加法”消去这个未知数。

三、能“整体”，勿“化简”

例4解方程组

【解析】本题常规解法是先化简，再消元，虽能达到目的，但不是明智之举。观察发现方程①与方程②中有相同的代数式4x+3y，所以把方程②代入①中，从而得到关于x的一元一次方程，求出x的值，进而求出y的值，则显得更简洁。

解：将②代入①，得2x+3×1=5，所以x=1。

将x=1代入②，得4×1+3y=1，所以y=-1。

【点评】解方程组时，有时可根据题目的特点把某一部分看成一个整体，将这个整体看成未知项，并消去它，从而达到简化运算的目的。当然不是所有的题目都能像本题一样，直接整体代入，有时必须通过仔细观察，抓住方程组的特点，先将它适当地变形，然后再整体消元。

四、巧妙“消元”，重构方程（组）

例5已知方程组的解满足x+y=3，求k的值。

【解析】本题表面上看是一个二元一次方程组和一个二元一次方程的问题，其本质上是一个“三元”问题，所以解决此类问题可以从不同层次观察和不同角度思考：其一是常规解法，即直接解关于x、y的方程组，再将方程组的解代入到x+y=3中，得到关于k的一元一次方程，进而求出k的值；其二是重构二元一次方程组，求出x、y的具体数值，再代入到另一个方程中求出k的值；其三是先消去一个未知数，构建一个含有k的二元一次方程组，解这个方程组；其四是仔细观察题目的特点，可以将方程组中的两个方程的左、右两边分别相加，然后将x+y=3整体代入，就可以了。

解：方法一：

解这个一元一次方程，得k=8。

方法二：

将2x+y=1与x+y=3联立，

得-2+2×5=k，所以k=8。

方法三：

由x+y=3，得y=3-x。④

将④分别代入①、②，

所以k=8。

方法四：

①+②，得3x+3y=k+1，

则3(x +y)=k+1。④

将x+y=3代入④，得3×3=k+1，所以k=8。

【点评】解决此类问题，无非这几种方法，不论采取哪种方法解题，同学们要注意的是：不仅要观察方程组中相同字母系数的特征，而且还要根据解题的需要，观察将方程组中的两个方程的左、右两边分别相加或相减后未知数系数的特点。总之细致观察，恰当消元，往往会“轻而易举”地把问题解决了。就本题而言，方法四就显得十分简洁。