高中数学深度学习四个维度的例析

沈亮

[摘 要] 深度学习是实现核心素养培育的重要途径. 高中数学深度学习包含深度分析、深度设计、深度实践、深度评价等四个维度. 结合具体的数学知识的构建过程，从学生的思维出发，创设教学情境，促进学生在数学知识构建的过程中完成能力的培养与迁移，是深度学习四个维度的重要体现. 深度学习需要重视认知目标和思维能力.

[关键词] 高中数学；深度学习；核心素养

当前，深度学习是公认的能够培育学生学科核心素养的教学方式. 深度学习原本诞生于人工智能领域，强调的是计算机（机器）对人的学习过程的模拟，当人们从教育的视角观察深度学习时，发现其中的许多机制对促进学生有效学习、培育学生核心素养方面也起到重要的作用. 作为对高中数学教学的研究，笔者以为深度学习的理解与实践，需要建立准确的认识，需要寻找深度学习的有效环节与抓手. 有研究者指出，教育视角下的深度学习，应当是学生基于知识理解并立足于知识迁移的一种学习方式，在深度学习的过程中，學生应当能够基于具体的学习情境去接纳新的数学知识、思想、方法，同时将习得的知识与能力纳入原有的认知结构中，进而利用这些知识与能力去做出决策和解决问题. 在具体的实施过程中，教师对深度学习的实施应当从深度分析、深度设计、深度实践、深度评价等四个维度来进行. 本文试以“圆锥曲线的统一定义”为例，谈谈高中数学教学中深度学习的理解与实施.

深度分析，寓教学价值于教学情境

深度分析是深度教学的前提，深度分析是指教师基于一定的教学理论（可以是成型的教学理论，也可以是教师默会的朴素的教学理论），在以学生的学习为中心的要求之下，对学生的学习环境、学习任务以及学生自身学习特点进行分析的过程. 深度分析对应着传统数学教学中的教学思路确定，强调数学学习情境对学生构建数学知识的作用，研究者认为，只有学生在具体的情境中完成数学知识的建构时，才会认识到数学学科知识的价值，而这是数学学科核心素养形成的前提.

在“圆锥曲线的统一定义”教学中，笔者注意到学生此前已经系统地学习过椭圆、抛物线、双曲线等典型的圆锥曲线，在经过相应的问题解决训练之后，学生已经初步掌握了三种典型曲线的基本性质；但是由于三种曲线之间并没有明显的逻辑联系，因此学生又很少能够自主意识到三者可以进行统一. 显然，生硬的拼凑是不行的，需要在分析的基础上设计出有效的情境，才能促进学生真正完成对圆锥曲线统一的定义.

笔者以为，该教学情境的设计思路可以是这样的：圆锥曲线的统一定义，培养的是学生用概括、统一的眼光，通过异中求同的思路，让学生在具体的情境中对三种曲线进行分析、比较，以发现三种曲线可以用同样的定义来进行描述——这就是本节课教学的最大价值之一. 也就是说掌握圆锥曲线统一定义是知识要求，而看透背后的数学知识的统一性，能够经历探究统一性的过程，才是数学思想、方法的要求.

通常情况下，教材是用“平面内到一个定点F的距离和到一条直线l（F不在l上）的距离之比或等于1或不等于1”的描述来引入的，但这样的表述实际上具有高度抽象性，不容易打开学生的思路. 因此最好的策略，应当是将这样的表述转换成具体的情境，以让学生的形象思维可以更好地发挥作用.

深度设计，促进学生价值识别理解

基于上述思路，笔者以为“圆锥曲线的统一定义”这一内容的深度设计，应当体现在学生经由本内容的探究与学习，以识别、发现其中的数学统一性的价值所在. 研究者指出，深度设计对应着教学法的两个转变：一是从学习的“法则”向社会符号系统的“法则”的转变，这意味着学习设计的资源需要从认知领域的知识素材寻找与准备，转向从社会领域内的生活、认知素材的共同寻找与准备；二是教师从“以教学为中心”转向“以学习为中心”，这样真正体现了以生为本的教育理念. 有了这两个转变，学生就可以在具体的情境中识别数学知识的价值.

因此，笔者对“圆锥曲线的统一定义”的设计由如下几个方面组成：

第一，从学生的思维出发延伸课堂.

既然是深度设计，那就要以学生的思维作为出发点，然后将课堂进程延伸到学生的思维深处.

本课中，学生的思维出发点是对三种曲线的独立认识（最初引入圆锥曲线时的以平面截圆锥面的情境，对学生而言只有激趣作用，不能让他们认识到三种曲线的统一性），基于学生的这一思维出发点，笔者设计的问题是：通过前面长时间对三种曲线的学习，大家有没有意识到这三个不同的曲线有一些相同之处？

这是基于学生的学习经验提出的问题，学生会梳理自己的解题经验，然后发现在建立圆锥曲线性质、图像认识的时候，确实存在相同的思路. 但这也只是思路相同，而不是明显的统一性，因此还需要进一步探究.

第二，将抽象文字转换为形象图形.

即将“平面内到一个定点F的距离和到一条直线l（F不在l上）的距离之比或等于1或不等于1”转换为具体的图形. 实际做法是，借助于现代教学手段，利用几何画板或Excel，在其中对常数进行赋值，然后让学生去观察生成动点P的轨迹，结果学生发现一会儿看到的是椭圆，一会儿看到的是双曲线，一会儿看到的是抛物线. 这个过程的实施中可以给学生一些神秘感，即将赋值的环节隐藏起来，先让学生看生成的不同的图形，学生自然会思考：为什么会出现不同的图形？

这是一个成本较低但却能够有效地激活学生思维的设计，这个设计符合学生的认知特点，因为生成的图形的变化，必然引导学生去思考何以会发生这种变化. 当学生看到图形上出现连续变化的圆锥曲线，而且有时是椭圆，有时是抛物线，有时是双曲线时，他们会结合此前已有的解题经验去猜想原因，从而为后面的思维打开空间.

值得一提的是，利用现代教学手段来服务几何图形，也需要让学生建立一种认识. 即像Excel这样的软件，背后实际上就是数据处理的支撑，体现的是以数述形、数形结合的数学思想，从某种程度上来讲这也可以看作是社会领域的资源在数学学习中的运用.

第三，建构统一定义的意义.

通过上述设计，圆锥曲线的统一定义其实就被明确为围绕“平面内到一个定点F的距离和到一条直线l（F不在l上）的距离为常数e的点的轨迹”的讨论，因为e值可以分为大于1、等于1、小于1这三种情况，因而得到了三种曲线. 这对于许多学生来说显得有些不可思议，但事实就摆在这里，而这也正是数学的统一性魅力所在，当一段表达或一个等式可以概括丰富的意义时，数学的统一性就彰显出其学科魅力.

深度实践，于实践情境中解决问题

深度实践是深度设计在课堂上的行为表现，通常情况下只要设计到位且贴近学生的思维，那课堂就会按照预设的主线前进. 当然，这里也会遇到一些生成，只要注意分析，就可以发现这些生成其实都是学生原有经验与新的知识之间的冲突形成的，这也对应着研究者在深度实践这个环节所提出的“价值冲突”.

比如说，学生在理解三种曲线的时候，对于不同形式的解析式的理解，其实是有困惑的，因为曲线的不同定义方式，导致得到不同的解析式，反之则体现为不同的解析式描述同一个圆锥曲线，而统一定义的价值，其实就是引导学生基于同样的“平面内到一个定点F的距离和到一条直线l（F不在l上）的距离为常数”表象来对圆锥曲线形成概括性认识.

这是学生在学习中遇到的一个客观问题，解决的途径其实仍然在于引导学生在上述给出的情境中形成准确的认识. 此外，还有一个途径，就是在应用性的问题解决过程中帮学生深化认识，比如说给学生提供这样的问题：已知动点P到定直线l的距离与它到定点F的距离之比为，那P点的轨迹是什么？

这样的问题由于与定义类似，因而容易驱动学生去加深对定义的理解，这样的问题解决思路，常常是化解学生在深度实践中遇到的概念理解的问题的较佳途径.

深度评价，让学生了解学习的价值

深度评价的主要功能在于让学生认识到数学与社会价值观的联系，深度评价由教师完成，在数学知识建构的过程中更多地让学生发现所学知识与生活、社会的联系，从而拓展学生对数学知识的认识，即认识到数学不只是用来解题的，还是用来解释生活事物的. 高中数学虽然比较抽象，但与生活联系实际较为密切，比如圓锥曲线中的三种曲线，在生活中均有体现，且不说斜抛出去物体的轨迹是抛物线，就说行星的运动轨迹，再到一些电厂冷却塔的外形等，都是圆锥曲线的体现.

实践表明，通过深度评价，可以化解学生在数学学习中形成的一些因解题压力而产生的不良认识，进而发现数学课程的价值与意义. 而基于学生学习的评价，就保证了学生在深度学习中的主体地位，同时通过评价，可以促进学生在深度实践中体现社会交互性，而这也恰恰是学科核心素养的重要内涵.