高中数学教学中学生逻辑严谨性的培养和评价

杨培

[摘 要] 高中数学教师应该关注学生逻辑严谨性的培养，这直接对应着学生数学知识的建构，也影响着他们思维品质的提升. 文章结合教学实践，对在课堂教学中发展学生逻辑严谨性的着力点进行了分析，还探讨了评价过程中的问题设计.

[关键词] 高中数学；逻辑严谨性；着力点；问题设计

数学研究非常强调逻辑严谨性，任何一项数学结论的得出都需要严谨的逻辑方法予以确认，因此学生研究数学的过程不仅将掌握对应的数学知识，其逻辑推理能力也将得到培养. 下面，笔者结合教学实践探讨一下高中数学课堂上有关学生逻辑严谨性的培养.

高中数学课堂发展学生逻辑严谨性的着力点

在高中数学课堂中，逻辑严谨性的培养应该渗透在每一个细节中. 就具体操作而言，以下几点应该是教师培养学生逻辑严谨性的关键着力点.

1. 引导学生证明力所能及的数学原理

在数学教学过程中，学生有必要对数学现象展开合情推理，由此将数学发现和建构的过程充分暴露出来. 当学生对相关结论有所发现之后，教师要组织学生对那些力所能及的数学问题展开探讨，并进行严谨的数学证明.

比如，当前大多数版本的教材在引导学生推导等差数列、等比数列的通项公式时，都采用了归纳推理的方式来进行，在学生掌握了数学归纳法之后再进行证明. 但事实上，当学生在初次接触这一部分内容时，他们的已有认知以及相关经验已经足以支撑他们完成一系列证明工作. 当学生对三角函数图像变化进行研究时，可以通过平移操作将函数y=sinx转化为函数y=sinx+，教材大多是采用描点作图的方式让学生绘制函数图像，引导学生在观察中获得发现. 但是事实上，学生完全可以在已经确立感性认知的前提下，展开更加严谨的证明，这样的操作显然更有助学生对相关内容形成认知.

2. 帮助学生形成证明的基本意识

不可否认，高中阶段还有一些内容，学生是无法进行证明的，或是限于学生能力，直接证明存在较大的困难，这时即便不安排学生进行证明操作，教师依然要强调证明的必要性，让学生形成相应的意识，因为这是发展逻辑严谨性的基本要求.

前段时间笔者曾经观摩过一节公开课，教学内容是“幂函数”的第一课，教师安排学生描绘函数y=x2，y=x3和y=x的图像，并要求学生结合图像的观察分析这些函数在（0，+∞）上都属于增函数，并宣布幂函数y=xα（α>0）在区间（0，+∞）上都是增函数，并且补充说明：这一结论都可以在函数图像的观察中得到确认. 这样的过程让笔者产生了这样的疑问：这个图像是怎作出来的？仅仅只是依靠图像就能得到结论的“确认”吗？如果图像不够准确，怎么办？关于幂函数y=xα（α>0）单调性真的可以在图像观察中得到验证码？数学结论都是从作图的角度得到验证的吗？一系列问题的讨论最终指向上述教学最为本质的问题：数学教学岂能如此欠严谨. 在高中数学的教学过程中，教师务必要引导学生强化数学研究的逻辑体系，这一点在高中阶段显得非常重要.

类似地，有教师指导学生研究“指数函数”的单调性时，先引导学生从函数图像的角度发现单调性特点，在此基础上，教师继续提问：结论能站住脚吗？当学生结合图像确定认识时，教师却补充道：“仅从图像上进行定性的认识，这还远远不够，将来我们还将学习相关理论来完成上述结论的严谨证明. ”这样的处理充分体现了教学的严谨性，我们一方面要让学生明确以上处理方式的局限性，同时也要让学生对后阶段的学习产生期待.

实际上，学生在具体问题处理过程中，简单地从图形角度就武断下结论的情形很多，随之发生的错误也比比皆是，因此教师有必要引导学生逐步形成意识，培养他们思维的严谨性.

3. 推理教学要注重逻辑性和规范性

学生在学习数学时，需要大量的数学公理，这些公理是人类在长期实践中得出的，一般都不需要进行证明，是一种不证自明的事实. 很多教师将这些内容教学的思想延续下来，在推理教学的过程中忽视了数学研究必须遵循的逻辑性和规范性.

笔者曾经观摩一次教学基本功比武，针对“用定义来证明函数y=在区间（0，+∞）的单调性”这一问题，超过三分之二的参赛选手选择以作图的方式来“证明”，教师的基本素养是此情形，那么学生在这一方面的思维也必然受到限制. 从数学探究的逻辑思路来讲，函数的图像都是在单调性、奇偶性、有界性、周期性等基本性质已经明确的前提下绘制出来的，因此常规研究应不是通过图像来发现有关性质.

比如以上有关幂函数的研究，在课堂的巩固阶段，教师提出问题：请比较0.28-1和0.26-1的大小. 有学生回答：“因为0.28比0.26大，所以有结论0.28-1<0.26-1.” 教师评价并追问：“说得很好，那么是否還有其他的方法呢？”然而对此教学过程，笔者有如下疑问：这样的处理真的很好吗，这是严谨的说理吗？这与直接说成“0.28比0.26大，所以有结论0.28-1<0.26-1”没有什么差别. 笔者认为，严谨的问题分析应该表达成：“因为函数y=x-1在（0，+∞）上属于减函数，因此由0.28大于0.26，得出0.28-1<0.26-1.” 这时，教师还要和学生明确初中阶段通过函数图像来比较大小的做法，其实还是从函数单调性做出的论断.

4. 结合公理化思想的渗透来提升数学认识的逻辑性

学生在数学学习中有必要把握数学知识的逻辑性，这需要教师对学生进行公理化思想的渗透. 因此，教师结合一些具有公理化结构特点的知识内容，引导学生研究它的建构过程. 比如“三角恒等变换”一章，其知识建构是从基本公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ出发，通过代换、变形、特殊化等处理，可以得出两角和、两角差的三角函数、倍角三角函数等公式. 这样的处理实际上是将上位知识转化为下位知识，这正是一种公理性结构. 教师在教学过程中应能够努力让学生接受这一点，同时也主动采用这种方法来实现知识的建构. 高中数学研究中有类似结构的内容不少. 就教学来讲，让学生在教学中理解知识的结构框架特点，这对学生数学逻辑能力培养以及逻辑严谨意识的形成都有非常大的意义.

此外，在高中数学的整个教学过程中，教师应该全程都能凸显逻辑结构的意识. 比如在引导学生研究“直线的方程”时，教师实际上是从定义出发，引导学生由曲线上的点需要满足的几何关系，推导出点的坐标所对应的代数关系，进而形成点斜式的方程，并研究斜截式的方程. 上述知识的发展其实也类似于从定理发展出相应的推论，所对应的过程属于由一般到特殊的过程，相关知识点也是上位知识和下位知识的关系. 比如提供学生直线上两个点的坐标，引导学生完成两点式的推导，在思路上有两个选择：（1）直接操作，假定直线上的某点的坐标（x，y），然后用这个点的坐标与另外两个点的坐标分别构建斜率，所得的斜率具有相等关系，依次构建等式即可得到直线方程；（2）用定理进行推导，直接从已知两点的坐标推导直线的斜率，然后采用点斜式来建立直线方程. 上述操作并不是要强调多样化的问题解决思路，而是希望学生在不同的研究思路中明确推理中的逻辑关联，培养学生的相关意识.

优化问题设计，以评价来调控发展

在高中数学的教学过程中，教师要善于设计问题对学生的成长进行合理评价，以此来对学生进行及时诊断，并对学生逻辑严谨性的发展提供更具针对性的引导. 为此，笔者认为教师在设计问题时，要注意以下几个方面的工作.

1. 注重问题设计的基础性

最基础的问题往往最能凸显数学理论在整体结构上的逻辑性，在数学研究过程中涉及大量的逻辑思维、推理方法以及相应的分析手段，这些都可以在问题中得以体现. 现如今的高考试题中也经常出现类似的问题，这些凸显逻辑性的问题不再依赖具体的知识，需要学生以灵活的思维来应对. 比如下面的问题从“城市旅游”这一话题切入，需要学生从对话内容中提炼信息，理清内部隐藏着的逻辑关联，并积极展开推理，形成相应的结论. 问题如下： 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲回答：这三个城市，我去过的比乙多，但没去过B城市；乙回答：我没去过C城市；丙回答：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过上述三个城市中的哪一个.

上述问题曾经是2014年的数学高考题，它应该是逻辑题首度直接出现在高考试卷中，这在师生中一度引起很大的反响. 大家都认为这样的问题生动而真实，能够对学生的逻辑意识和相关能力进行较为真实的考查. 上述问题新颖且生动，而且语言措辞也比较生活化，具有很强的实际意义，能够把生活与数学有效地衔接起来. 如果将这类问题融入日常的教学之中，能够强化学生的数学学习兴趣，引导学生有意识地培养他们的逻辑严谨性，同时还可以提升他们应用数学知识解决实际问题的能力. 这样的问题也是对课标精神的有力诠释，能够强化学生自主学习数学的意识，学生也将发现逻辑思维是衔接数学理论和生活的重要途径.

2. 关注问题设计的实践性

实践性应该是逻辑思维的重要标准，关注逻辑意识培养的数学问题应该注意实践性的体现. 实践和生活本就是数学的起源，数学理论的发展也正是为了解决实践性的问题. 很多富有实践性的问题在学生对其进行分析和解决的过程中，需要学生充分联系已有的经验和知识，充分发挥思维的严谨性和逻辑性，多方位地整合数学理论和相关知识，并最终在问题的分析和解决中发现自己在逻辑严谨性发展上的短板，同时还能在训练中得到弥补和强化.

教师在设计实践性问题时，可以跟踪社会热点，从学生关心的社会话题中选择素材，这样的问题将让数学研究更显真实性，而且还能充分显示数学研究的作用和价值，展示逻辑严谨性在社会实践中的重要意义. 比如“空气质量”是一个社会关注度较高的问题，教师以此为背景，设计凸显实践性的问题：结合以往的资料，气象分析专家确定某地区一天空气质量达到优良级别的概率是0.75，连续两天空气质量达到优良级别的概率为0.6. 现在已知当天的空气质量级别为优良，则第二天有多大概率空气质量也为优良？这是一个概率问题，它是对随机事件可能性的一种探索，在逻辑的严谨性上有着非常高的要求，同时这个问题以学生关心的话题切入，能够引导学生深度领会概率研究的社会价值和实际意义.

学习过程中，学生都有这样的体会：很多课堂上的内容，如果只是纸面上分析一下，一切貌似非常严谨，但是如果将其放到实践的背景下，就发现不少缺陷. 这也表明，要强化学生逻辑严谨性的培养，教师要注重将实践性的素材引入课堂教学之中，让学生在实践与探索中感受最纯正、最质感的数学问题，由此才能让学生真正从学习中获得提升和发展，他们的思维也将因此而变得更加严谨，相关能力将在潜移默化的过程中得到发展.

3. 关注问题设计的综合性

在培养学生的逻辑意识时，教师还必须设计一些具有综合性的问题，这些问题要侧重于学生对通用数学研究方法的巩固和诊断，规避某些特殊的分析技巧. 这样的目的是为了训练学生更具一般化的解题思维和常规方法. 整个数学课程体系中，数学思想及方法是对知识的高度概括和抽象，相关内容可以有效迁移并应用于其他学科，并拓展到生活实践问题的解决之中. 高中数学教学所涉及的数学方法很多都與逻辑学密切相关，比如综合法、归纳法、穷举法、反证法等，这些内容应该成为设计综合性问题的落脚点.

在高中数学教学中，教师要从教学和评价两个层面双管齐下，深度而有效地关注学生逻辑严谨性的培养，这也将成为发展学生核心素养工作中的关键一环，对学生的终身发展大有裨益.