用Python实现割圆术算法

刁乾坤

【摘要】 圆周率是人类获得的最古老的数学概念之一.3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽[1]首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.本文将通过Python语言，在JUPYTER NOTEBOOK中实现割圆术算法.

【关键词】 圆周率;割圆术;算法

主要仪器设备JUPYTER NOTEBOOK PYTHON 3.

设半径为1的圆的边数为6·2n的内接正多边形边长为an，如图所示，其中，AC= an 2 ，AD=a2n，OD=1，OC= 1-  an 2  2 ，AD2=AC2+CD2=AC2+（OD-OC）2，

则a2n=   an 2  2+ 1- 1-  an 2  2  2 = 2- 4-a2n  .

相应的△AOD面积为：Sn+1= 1 2 OD·AC.

所以，π≈6·2n+1·Sn+1，

程序代码

import numpy as np

def liuhui（n）：

a=np.zeros（n+2）

a[0]=1

for k in range（n+1）：

a[k+1]=np.sqrt（2-np.sqrt（4-a[k]**2））

return（print（′圓的内接正6*2^n边形的边长为：′，a[n]），print（′圆周率的近似值为：′，3*2**n*a[n]））

Python中π的参考值为3.141592653589793.

运算结果为：

n 正多边形边长 正多边形边数 圆周率近似值

0 1.0 6 3.0

1 0.517638090205 12 3.10582854123

2 0.26105238444 24 3.13262861328

3 0.13080625846 48 3.13935020305

4（刘徽） 0.0654381656436 96 3.14103195089

5 0.032723463253 192 3.14145247229

6 0.0163622792079 384 3.14155760791

7 0.00818120805247 768 3.14158389215

8 0.00409061258234 1536 3.14159046324

9 0.00204530736071 3072 3.14159210604

10 0.00102265381399 6144 3.14159251659

11（祖冲之） 0.000511326923607 12288 3.14159261864

12 0.000255663463975 24576 3.14159264532

13 0.000127831731987 49152 3.14159264532

结果分析：刘徽利用正96边形算得圆周率小数点后3位精确数字;祖冲之利用正12288边形算得圆周率小数点后7位精确数字.在数学上，祖冲之推算出圆周率的真值应该介于3.1415926和3.1415927之间，比欧洲要早一千多年.

【参考文献】

[1]郭书春.中国古代数学[M].北京：商务印书馆，1997：164.