特殊取值，巧妙求解

徐峰

【摘要】 在解答某些高中数学问题时可以尝试采用特殊值法，即选取特殊的值加以研究.采用特殊值法可以发现规律，简化问题，达到事半功倍的效果.本文列举了特殊值法在数学中的几种应用，通过对特殊值的具体选取加以举例分析，为学生的解题提供一种新的思路.

【关键词】 特殊值法;不等式;证明题;解析几何

特殊值法是高中数学中经常用到的一种方法，特殊值法即通过对问题的分析和判断，抓取一些特殊的数值或图形去探寻问题普遍的确定性的规律.使用特殊值的思想可以快速准确地判别获得答案，省时省力，提高解题效率.

一、特殊“不等式”

不等式题是高中常见的题型，也是考试中难度适中的题型，解此类题型时不仅需要找到问题的切入点，还经常面临分类讨论等繁复的求解過程，而通过特殊值法则可以较为简便地把握讨论的关键点，快速切入问题，准确解答.

例1   若-2≤a≤2时，不等式ax2-2x-a+1<0恒成立，求x的取值范围.

分析  对原不等式进行分析，原不等式可变形为a（x2-1）-2x+1<0，观察后可知x=±1时不等式的二次项可以去除，则原不等式的特殊值可以选取为x=±1或x≠±1，通过采用特殊值法可对原函数进行降次，之后的分析则会非常简单.

解   将ax2-2x-a+1<0变形为a（x2-1）-2x+1<0.

当x=-1时，-2×（-1）+1=3>0，则原不等式不成立;当x=1时，-2×1+1=-1<0，则原不等式成立;当 x≠±1时，构造一次函数f（a）=a（x2-1）-2x+1，则-2≤a≤2时，f（a）<0恒成立，则存在 f（-2）<0，f（2）<0，  即 1- 3  2 <x< 1+ 3  2 .

评注  解答本题的关键是找准特殊值，然后用构造函数的方式来进行主元的有效转化，利用特殊值来进行针对性讨论，避免了分类讨论的复杂性.这种思维方式可以很快地找到解决问题的关键，谋求最大效率，学生在练习时可以有意识地培养.

二、特殊“证明”

高中数学的证明题题型灵活，学生在做此类题的时候经常会无从下手，在一些情形下则可以采用特殊值的方法来尝试求解.求解时首先对题目进行分析，提取有效信息，包括题目中相关函数或图形的一些特殊性质和规律，再进行假设尝试，设定特殊值，切记不要以偏概全，一概而论.

例2   证明函数y=cos x 不是周期函数.

分析  cos x 不是常规函数，不能简单地通过一般方法进行求解，需要注意的是原函数的定义域必定为x≥0.证明函数不是周期函数可首先假设原函数为周期函数，通过反证法进行证明.设定为周期函数则可以假设周期常数，此时则可以提取特定值对原函数的周期性进行判断.

解  原函数的定义域为x≥0，现假设y=cos x 是周期函数，则必然存在一个常数T（T≠0），使得原函数在定义域内的一切x都满足cos x+T =cos x .

令x=0有cos T =cos0=1 T =2mπ，m∈ Z ;令x=T有cos 2T =cos T =1 2T =2nπ，n∈ Z ，于是 2 = n m ，此时与m，n∈ Z 相矛盾，从而可以判定假设不成立，故原函数y=cos x 不是周期函数.

评注  本题是典型的证明题，考查学生对周期函数的定义和异形函数变形的掌握，解题有两大关键点：一是命题的假设，二是特殊值的选取.巧妙地选取特殊值则可以立即体现命题的矛盾，达到立竿见影的效果.对于特殊值的抓取则需要学生在平时注意理解基础知识、积累规律性质.

三、特殊“解析”

特殊值法在解析几何中探寻方程轨迹也十分有效，可以通过特定点的设定以及特定斜率范围的假设来预判轨迹，至于设定的正确与否则可以根据已知条件进行求证.特殊值法是一种迂回的思想，即避开问题的一般性质用特定的解来判定可能性.

例3   已知椭圆C： x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）的右焦点为F（1，0），点 -1，  2  2  在椭圆上.已知一点F和一动直线n，直线经过点F，且与椭圆C相交于A，B两点，则x轴上是否存在定点Q，使得QA ·QB =- 7 16 恒成立？若存在，则求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.

分析  本题考查的是椭圆轨迹问题，动直线n有两种情形，即斜率存在和不存在，两种情形下都可以求出特定的点Q，通过对特定点坐标的考证可以判定其是否符合条件，最终综合两种情形则可以说明问题.

解  假设在x轴上有一点Q（m，0），使得QA ·QB =- 7 16 恒成立，当直线n的斜率为0时，A（ 2 ，0），B（- 2 ，0），则（ 2 -m，0）·（ 2 -m，0）=- 7 16 ，所以有m2= 25 16 ，所以m=± 5 4 .当直线n的斜率不存在时，A 1，  2  2  ，B 1，-  2  2  ，则 1-m，  2  2  · 1-m，-  2  2  =- 7 16 ，所以有（1-m）2= 1 16 ，所以m= 5 4 或m= 3 4 .综合可得m= 5 4 .所以x轴上存在点Q  5 4 ，0 ，使得QA ·QB =- 7 16 恒成立.

评注  本题抓住了解析几何中直线斜率存在与否展开讨论，求出特定的点加以分析，这是特殊值法的常规使用. 解析几何问题相对复杂，如果直接通过一般的规律对其解答势必会占用大量的时间，而通过取定值的方式则可以简化问题.

综上所述，特殊值法在高中数学中应用非常广泛，通过选取特定的值，则可以简单快速地求解不等式，证明命题成立，以及分析解析几何.合理地对特殊值进行分析可以发现规律、探寻结论，从而解决问题.