“变脸”

汤爱花

案例背景

《数学课程标准》指出：教学中要鼓励与提倡解决问题策略的多样化，尊重学生在解决问题过程中所表现出的不同水平.意即教师在课堂教学中应关注问题设计的层次性、开放性，引导学生主动参与探索活动，展示其解决问题的策略，丰富数学活动经验，提高思维水平.笔者结合一节课——（“2.5直线与圆的位置关系”选自《义务教育课程标准实验教科书（苏科版）》九年级上册第二章2.5）中一道例题的教学片段，谈谈自己的教学尝试与反思，和大家共勉.

案例过程

例题  如图1所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD=∠ABC.判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由.

师：请生1来谈谈你是怎样思考并解决的？

生1：问题是判断直线AD与⊙O的位置关系，根据条件和图形知道OA是⊙O的半径，因此，只要得到OA⊥AD即可.AB是⊙O的直径，所以∠C=90°，所以∠CAB+∠ABC=90°，又∠CAD=∠ABC，所以∠CAB+∠CAD=90°，即OA⊥AD即可，所以直线AD与⊙O相切.

师：其实问题1中的条件有多余的.不相信？请看变式题1，并思考如何解决？

变式题1  如图2所示，△ABC内接于⊙O，∠CAD=∠ABC.判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由.

生2：开始，我想到连接OA，但不知如何得到OA⊥AD，始终觉得条件∠CAD=∠ABC派不上用场.小组讨论时，我们把这个问题与问题1做了对比，发现两个问题的图形中线段AB的位置发生了变化，当AB是⊙O的直径时（即问题1）非常容易解决，于是大家思考是否要过点A作一条直径？尝试后恍然大悟.

具体是：作直径AE，连接CE（如图3所示）.则∠ABC=∠ACE，由问题1的解决容易得到：OA⊥AD，所以直线AD与⊙O相切.

师：生2的分析与思考值得每位同学借鉴.我们在探索问题解决过程中既要关注问题的条件与结论，也要关注问题涉及的图形与平时所熟悉的基本图形之间存在怎样的变化与联系.

生3：思考这个问题时，我先连接OA，发觉条件∠CAD=∠ABC派不上用场.

由同弧所对圆周角与圆心角的关系发现：只要再连接OC即可得到∠AOC=2∠ABC.又OA=OC，所以∠OAC=∠OCA.因为∠AOC+∠OAC+∠OCA=180°，所以可得2∠ABC+2∠OAC=180°，所以∠ABC+∠OAC=90°，由∠CAD=∠ABC可知：∠CAD+∠OAC=90°，即OA⊥AD，所以直线AD与⊙O相切.

师（小结2）：很好！现在大家找到了两种解决变式题1的途径.其实，这两种方法告诉我们，问题解决的策略发生变化时，具体解决方法就有差异.显然思考过程是非常关键的，只有对所学知识、方法有清晰的理解，才能寻求出好的解题策略.

变式题2  如图1所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径.请你添加一个条件，使直线AD是⊙O的切线，并说明理由.（不添加辅助线和其他字母）

生：（全体学生）添加条件∠CAD=∠ABC即可.

师：还有其他添加条件的方法吗？

生4：只需添加条件AB⊥AD即可.

师：生4的方法不行吗？

生：（集体回答）行！只是太简单了.

师：（小结3）我们解决问题时不就想寻求简单一些的方法吗？从这个问题的解决可以看出：许多同学在探究问题时往往视问题本身于不顾，导致有时想了许多却找不着北.

案例反思

本节课的例题教学关注问题设计的层次性与开放性，通过对变式问题的探究，使不同层次学生都有所收获;同时关注了问题探索过程的有效教学与指导，使学生的思维水平有较好的提升.

1.问题设计有利于学生主动学习

根据问题的提出共创设了3道变式问题，通过问题的探究促使学生积極主动地参与课堂，对学习有困难的学生给予鼓励和指导.

2.策略分析有利于揭示思维过程

变式题1的思维含量较高，尤其学生在思考第二种解法时显得更加困难.在组织教学时，教师请生2回答时要求“谈谈你最初的想法及小组讨论的情况”，生2完成解答后又提出“还有其他不同解决办法吗？”，接着对生3的回答给予了充分肯定.

对变式题3的策略分析与解决则由学生尽情发挥，教师只是从分析方法层面给予了归纳与指导.

3.适时小结有利于提高思维水平

在这组问题教学的过程中，教师共安排4次阶段性小结，使学生明确探索问题的一般性方法，帮助学生学会归纳、类比和总结.长期这样，学生的分析问题能力、思维水平必然会有明显的提高，从而达到由“学会”到“会学”的转变.