数学史的方法与中学数学教学的融合

丁彬

【摘要】 我国的数学课堂教学一般比较注重模式化的数学思维的推理演练，往往忽视对学生数学学科的思想体系和文化内涵的培养.在新课程改革的背景下，将数学史引入数学课堂，越来越受到有关教育部门的重视，已成为数学课程改革发展的必然要求.本文主要从数学方法的比较、结合某一体系，讲授发展概况、从具体问题出发，引导学生积极思考、利用数学史上的名题及轶闻趣事这五个方面论述了中学数学教学与数学史有关知识的融合过程，最后提出了数学史与教学融合的要求.

【关键词】 数学思维;数学史;融合;数学教学

一、利用数学史的方法

（一）通过方法的比较，引导学生发现学习

古往今来，数学思想方法不计其数，每一种数学思想方法都闪烁着人类智慧的火花，以史为源，在数学教学中引导学生从数学发展的痕迹中寻找养料，对古今中外的解决方法进行对比，以便使学生了解各种方法的特点或古今方法的演变，从而更好地习得一些处理数学问题的方法.

例如，证明1+2+3+…+n= 1 2 n（n+1）.

（1）数学归纳法证明：

① 当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立;

② 假设当n=k时，等式成立，即1+2+3+…+k= 1 2 k（k+1）;

③ 当n=k+1时，1+2+3+…+k+k+1= 1 2 k（k+1）+k+1= 1 2 （k+1）（k+2）.

等式也成立，根据①②③，可知等式成立.

该题还可以用古代数学中形与数相结合的思想方法来解决.

（2）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派发现从1开始，任意多个自然数之和构成三角形数，一点代表1，二点代表2，三点代表3等，并且在三角形数旁补一个倒立的三角形数，如下图.

根据图1可以得到1+2+3+…+n= 1 2 n（n+1），

毕达哥拉斯还用正方形数的构成得出：1+3+5+…+（2n-1）=n2.

数学史中的“图说一体”的例子很多隐含着数学家在发现数学时的思想方法，然而在今天这类思想方法却被遗忘或者忽略了，而这类涵盖数学发现、数学思想的史料，在教学时是不应被忽视的.

（二）结合某一体系，讲授发展概况

数学每一个知识体系的形成都经历了漫长的历史时期，教师在教学过程中，可根据教材中的数的理论体系、解析几何的理论体系的形成等，谈其发展概况.如数的发展概况自然数——整数——有理数——无理数——实数——复数.原始人在分配猎取食物和制造打猎武器时，总要先“数一数”和“量一量”，然后进行分配，并经过多次实践，才逐渐产生了自然数的概念.在分配食物和度量过程中，常有分不完和量不尽的情况，但仍然需要继续分和更精确地量下去.为了解决这些矛盾，于是就产生了分数，为了表示相反意义的量，则又产生了负数，至此，就有了有理数这一家庭.

那么无理数是如何诞生的呢？以 2 诞生的危机为着手点，引出无理数.

L老师：毕达哥拉斯学派有一个门徒叫希帕索斯，发现边长为1的正方形，根据勾股定理发现其对角线长不是有理数而是我们之前所学过的无理数，正是因为这个发现而动摇毕达哥拉斯学派神秘的信仰，由于泄露这一秘密，被抛进大海，史称“第一次数学危机”.那么希帕索斯发现的究竟是个怎样的无理数呢？我们一起来看看.

请同学们填写下面表格.

L老师：上述的问题已知和要求的分别是什么呢？

生（众）：已知的是正方形的面积，求的是正方形的边长.

L老师：那它们边长分别是多少呢？

生（众）：3，2，0.5，0.4，0.1.

L老师：这几个都可以求出来，而且这几个数可以用我们今天需要引进的新的概念，即“算术平方根”   来表示.

L老师：同样这个   也有其悠久的发展历史，例如， 9 表示9的算术平方根，虽说这是一个细小的数学符号，但在数学史上历经了漫长的过程，古埃及人用符号“”表示算术平方根.印度人在开平方时，在被开方数的前面写上“ka”，用ka9表示“ 9 ”，1480年前，德国人用一个点“·”来表示算术平方根，例如，“·5”就表示5的算术平方根.直到16世纪，小点带上一条尾巴成为“～”，这可能写快时，带上的小尾，在此基础上演变成“   ”，表示成算术平方根;1525年，鲁道夫的代数书用 8 表示;1637年笛卡尔的《几何学》中，出现了历史上第一个算术平方根号“   ”，他写道：如果我想 求a2+b2的算术平方根就写作“ a2+b2 ”.当一个被开方数是一個多项式时，为了避免混淆，又在这上面加一条“-”，左边又加上一个小门，就是现在的根号了，即“   ”.[7]

类似，正方形面积为9，边长为 9 ，这个 9 我们可以读作9的算术平方根，即 9 =3， 4 =2，同学们能将表1中的其他数字用类似的形式表示其算术平方根吗？

生（众）：能， 4 =2， 0.25 =0.5……

L老师：同学们可以发现开平方算出来的是它们边长，那么面积为2的正方形的边长怎么表示呢？

生（众）： 2 .

L老师：那 2 等于多少呢？请同学们拿出计算器，利用计算器计算，看一看得出来的是什么类型的数字呢？

生（3）： 2 =1.41421356237309504880168872420是无限不循环小数，是个无理数.

L老师：回答得很好，同学们希帕索斯算出的数正好就是 2 ，从而引发了第一次数学危机.（概念解读、例题讲解和课堂练习略）

（三）从具体问题出发，引导学生积极思考

要使数学教学过程在某种程度上反映出数学的创造过程，需做到既让学生理解“证明”，又让学生学会“猜测”，使学生能够“知其然又知其所以然”.教师可以设计出适当的教学情境，让学生在这样的情境中像数学家那样自己去猜想、发现真理，比机械模仿、记忆那些不理解其来源、意义和相互联系的命题和证明的现成体系更容易使学生理解.数学史上新概念、新思想、新方法、新理论的出现往往是由于解决问题的需要.从具体问题出发，让学生通过观察实验建立猜想，当学生感到用已有的知识无法解决，需要学习新方法或新理论的必要时，教师才开始讲授这种新的方法或理论.

（四）利用数学史上的名题

数学史为我们提供了丰富的史料，许多可以完全运用于教学，如古希腊的三大几何难题、孙子算經、鸡兔同笼等问题、九章算术中的运用题等，这些历史名题的提出一般来说都是非常自然的，且直接提供了相关数学内容的现实背景，或者揭示了实质性的数学思想方法，这对于学生理解数学内容和方法都是重要的.

例如，在初中代数的“列方程组解应用题”的教学中可以使用“鸡兔同笼”问题.

例，一个农民有若干只鸡和兔子，它们共有50个头和120条腿，则这个农民有多少只鸡？多少只兔子？

（1）有的学生使用了直观的方法将所有的情况列表如下.

通过几次试探，得到了答案，即有40只鸡，10只兔子.

（2）有的学生使用了算术法：若给每只动物2条腿，则用去了100条腿.这样就剩余20条腿，把它们成对给出就得到10个4条腿的，40个2条腿的.所以，有10只兔子，40只鸡.

（3）有的还使用了代数法假设鸡有x只，兔子有y只.

列方程如下： x+y=50，2x+4y=120，  解得x=40，y=10.

在上述解答中，教师以为学生做的是“列方程”，但事实上学生除了“列方程”以外，还给出了直观的方法，试验的方法.正因为有了这些，教师才能在了解学生真实思维过程后进行有针对性的教学.

（五）利用历史上的逸闻趣事

在数学教学中，有意识地介绍一些数学家的成长过程、治学精神、轶闻趣事等，即所谓的给数学知识裹上“糖衣”的方法.帕斯卡16岁成为射影几何的奠基人，19岁发明原始计算器.牛顿22岁发现一般的二项式定理，23岁创立微积分学.这些杰出数学家的故事对于今天的许多学生来说，无疑有着巨大的激励作用.

许多大数学家在成长过程中遭遇过挫折，不少著名数学家都犯过今天看来相当可笑的错误，介绍一些大数学家是如何遭遇过挫折和犯错误的，不仅可以使学生在数学方法上从反面获得全新的体会，而且知道大数学家也同样会犯错误、遭遇挫折，对学生正确看待学习过程中遇到的困难、树立学习数学的自信心会产生重要的作用.数学思想形成中的曲折与艰辛以及那些伟大的探索者的失败与成功还可以使学生体会到，数学既不仅仅是训练思维的过程，也是科学研究的工具，它有着丰富的人文内涵.

二、中学数学教学中利用数学史的要求

专业知识与历史知识总是互补的.就是说，不仅研究学习历史需要具备一定的专业知识，而且学习专业知识也同样需要用历史知识帮助分析和思考.所以数学史是学习数学、认识数学的工具.人们要弄清数学概念、数学思想和方法的发展过程，增长对数学的认识，建立数学的意识可以运用数学史作为补充和指导，给人以启迪和明鉴.因此，教师要在教学中注意发挥好数学史的现代教育价值.

1.教师在上课前要深入研究教材的数学知识，理清隐含在该次课的每个公理、定理、公式、概念和图形等数学史的知识，充分做好课前的储备工作.

2.结合学生的认知水平和特点来分析数学知识，以此找出其中的难点和重点，利用数学史的知识促进学生对数学知识的理解.

3.研究数学教学目标，制订合理的教学方法和过程.确定哪些知识需要数学史知识的帮助，哪些不需要确定出在教学时如何给学生讲解和介绍确定出在什么环节上补充数学史知识等.

4.由于数学史的内容广泛，加上数学学科本身源远流长，分支较多，所以面对长长的数学史卷，应该合理转化为教育形态，根据自己的教学安排详细地向学生讲解.

5.在给学生讲解数学史知识时，应当力求简单通俗，使学生易于接受.

6.在给学生讲解数学史知识时，应当结合数学知识及时补充，确保教学效果.

7.不能忽视课外的数学史知识的适当教育.

【参考文献】

[1].杨渭清.数学教育中融入数学史的若干问题探究[J]西安文理学院学报（自然科学版），2009（3）：125-128.