高超声速滑翔导弹气动参数自适应跟踪建模*

张 凯，熊家军，付婷婷，习秋实，兰旭辉

(1. 空军预警学院 研究生大队， 湖北 武汉 430019； 2. 空军预警学院 预警情报系， 湖北 武汉 430019)

作为新一代跨大气层空天飞行器，高超声速滑翔导弹(Hypersonic Gliding Missile, HGM)结合了航天器与航空器的特征，具有高速、高机动、高精度、大航程等优点，可实施远距离机动快速打击[1-2]。美国于2011年和2017年分别成功试射陆基和潜射高速滑翔弹头，标志着HGM武器已初步具备作战能力，这给我国空天安全带来了巨大威胁。面对这类目标在早期预警和拦截中跟踪精度有限的问题，有必要结合HGM的运动特点进一步研究目标跟踪的相关理论。

从滤波器应用角度来看，HGM跟踪是典型的非线性滤波问题，其估计性能很大程度取决于目标状态模型的精细程度。通常，合理构建机动再入目标的未知气动力模型可有效提高目标的估计精度[3]。这类方法一般利用气动参数表征未知气动力变化，凭借经验将其建模为高斯-维纳或一阶马尔可夫等通用的机动模型，通过状态增广[4-7]或输入估计[8-9]等方法构建完整的动力学模型。其物理含义清晰，稳定跟踪时估计精度高。缺点是当模型失配或气动力大幅变化时，跟踪精度会大幅下降。

目标机动是造成跟踪精度大幅下降的关键因素。HGM机动是在控制系统作用下通过调整制导变量实现的，其特性受控制规律约束，并非完全无章可循。采用传统的通用机动模型对气动参数建模忽略了这一重要的先验信息，不利于提高跟踪精度。针对这一问题，文献[10]采用构造的制导规律推导目标的未知气动加速度模型，其工作具有一定启示，但模型参数依赖于离线统计运动特征，实际应用中难以实现。如果能够在线辨识制导变量的相关规律，则更具应用价值。文献[11-12]针对来袭目标末制导辨识问题，假设其采用某型比例导引律，通过状态增广的方式在线估计制导系数，从而辨识目标的机动行为。但末制导辨识问题通常约束条件较强，待定参数少，难以适应中制导阶段的HGM跟踪问题。

据以上分析不难看出，利用制导控制规律对未知气动参数建模有助于提高HGM跟踪精度，但如何辨识未知参数进而构造气动参数模型是亟待解决的问题。为此，本文对气动参数进行分析，通过推导气动参数与制导变量之间的关系，构建一种基于制导变量变化规律的气动参数模型。

1 气动参数分析

HGM的加速度的矢量表达式可描述为：

(1)

式中，aA表示气动加速度，aG表示重力加速度。

飞行过程中，HGM制导系统通常采用倾斜转弯(Bank To Turn, BTT)控制方式，选择攻角α和倾侧角υ作为制导变量。α确定阻力加速度D和升力加速度L的大小，υ确定L在纵向和侧向上的分量。因此，aA在位于HGM质心的半速度(Velocity Turn Climb, VTC)坐标系中可表示为：

(2)

式中，

(3)

其中：uv、ut和uc表示VTC坐标系中各向的单位矢量；ρ为大气密度；v为目标速度；m为目标质量；S为目标等效截面积；CD(α)和CL(α)为阻力系数和升力系数，通常可表示为α的函数[13-14]。

为描述气动加速度aA的变化规律，通常利用状态依赖参量ρv2/2将气动加速度aA中的未知参数(k，CL(α)，S，m，υ)转化为气动参数u=[αv,αt,αc]T[3]。此时aA在东北天(East-North-Up，ENU)坐标系中的表达式可描述为：

(4)

联立式(2)和式(4)，可知气动参数u的表达式为：

(5)

从式(5)不难看出，气动参数的变化是由制导变量α和υ决定的。同时，制导变量又导致气动参数之间存在显著耦合。在文献[3-9]中，凭借经验对各向气动参数进行独立建模的做法实际是对气动参数的解耦处理，忽略了制导变量对气动参数变化的影响。针对这一问题，下文不再简单地将气动参数当作随机过程来处理，而是通过构造制导变量规律对气动参数建模，从而使得目标状态模型更加符合实际情况。

2 气动参数模型

2.1 模型推导

制导变量α和υ的变化是由目标控制系统决定的，在未知其具体变化规律的情况下，可采用一阶时滞过程近似处理[10]。

(6)

其中：τα和τυ为α和υ的时间常数，是表现制导变量变化快慢的参数；αG和υG为对应的制导指令，表征制导变量的期望值。

对于在复杂大气层内高速飞行的HGM而言，攻角α的大幅值调整会使得气动特性复杂，影响目标的热防护系统并增加制导控制系统负担。因此，α一般作为辅助的制导变量，在标称值的基础上进行小范围调整[15]。由于气动系数CD(α)和CL(α)可近似为关于α的线性函数[16]，当αG-α变化较小时，可用α处的一阶泰勒展开式近似表示CD(αG)和CL(αG)。

(7)

结合式(6)和式(7)，对式(5)中的阻力参数αv求导可得：

(8)

式中，αvG表示制导攻角αG对应的阻力系数制导指令。

(9)

式中，αlG为制导攻角αG对应的总升力参数制导指令。

根据式(5)，对爬升力参数αt和转弯力参数αc求导：

(10)

将式(6)和式(9)代入式(10)，可得：

(11)

其中：

υ=-arctan(αt/αc)

(12)

通过式(11)，可利用α和υ的变化规律构造αt和αc的模型。

2.2 模型分析

根据上文推导，带高斯白噪声的气动参数模型可表示为：

(13)

其中，时间常数τα和τυ是与当前状态变化无关的参数。

为描述模型设计的合理性，下文对HGM在不同飞行状态下式(13)的变式进行分析。

1)稳态飞行。此时制导变量α和υ保持不变，可知αvG=αv，αlG=αl，υG=υ，则式(13)可简化为：

(14)

其中，模型退化为各向解耦的高斯-维纳模型，适用于稳态跟踪情形。

2)俯仰机动飞行。此时α变化，υ不变，可知αvG≠αv、αlG≠αl、υG=υ，则式(13)可简化为：

(15)

3)转弯机动飞行。此时υ变化，α不变，可知αvG=αv、αlG=αl、υG≠υ，则式(13)可简化为：

(16)

其中 ，

ω=(υG-υ)/τυ

(17)

式中，αv退化为独立的高斯-维纳模型，αt和αc退化为关于ω的谐波振荡模型，ω为谐波振荡系数。此时模型与τυ有关，适合于由倾侧角υ变化引起的俯仰机动跟踪情形。

综上所述，在不同飞行状态下，所提气动参数模型可自适应地变化为与目标机动相匹配的模型，从而有助于提高跟踪精度。同时，模型自适应的关键在于如何在不同飞行状态下辨识制导指令αvG、αlG和υG。

3 动力学跟踪算法

3.1 状态与观测模型

(18)

(19)

其中，μ为地球引力常数，Re为地球半径。

3.2 模型参数辨识

为保证模型可用，需要确定时间常数以及控制指令的取值。时间常数τα和τυ与目标控制特性有关，可根据目标机动特性等某些先验信息进行估值。制导指令αvG、αlG和υG是表征目标机动的时变参数，理想的制导指令辨识值变化趋势为：当目标稳态飞行时，制导指令与对应参数之间的偏差量为零，此时气动参数模型退化为各向独立的高斯-维纳模型(13)，制导指令辨识值处于平稳随机过程；当目标发生机动时，制导指令辨识值由平稳随机过程变为非平稳随机过程，有明显的上升或下降，并且显著偏离对应数，在偏差作用下，气动参数模型自适应地变化为相应的机动态模型(14)或模型(15)，使偏差逐渐收敛，此后机动态模型逐渐退化为高斯-维纳模型。

可见，要实现气动参数模型与目标飞行状态的自适应匹配，需要在线辨识制导指令的变化趋势。为此，假设制导指令的变化趋势在短时间内保持一致，k+1时刻的制导指令可根据k时刻气动参数估计值近似获取。结合式(6)、式(8)和式(9)，可得制导指令辨识值为：

(20)

(21)

式中，n是设计参数，取值应当根据采样周期T和估计精度需求决定。n取较小的值，量测误差容易导致制导指令偏差过大；n取较大的值，制导指令变化不明显导致机动信息丢失和机动检测延迟。考虑制导变量变化通常可在数秒至数十秒量级时间内完成，为及时检测到目标机动，可设置nT≤1 s。需要注意的是，在滤波器启动阶段(k

4 仿真分析

设计如下仿真环境：①目标参数——仿真时间为180 s，真实模型参考某型HGM的基本参数，采用六自由度动力学方程生成仿真弹道[15]，通过反馈调整控制力矩满足制导指令要求，目标在t≈35 s时进行强机动，在t≈90 s时进行弱机动。②传感器参数——采用扩展卡尔曼滤波器(Extended Kalman Filter, EKF)，距离量测标准差为500 m，方位角、俯仰角量测标准差均为0.01 rad，采样周期T=0.1 s，n取值为10。

利用两种动力学模型跟踪算法进行仿真对比。①MaRV模型：将气动参数建模为一阶马尔可夫模型[3]。②Guide模型：将气动参数建模为本文所提模型。对跟踪算例进行50次蒙特卡洛仿真，计算状态的均方根误差(Root Mean Square Error，RMSE)。

4.1 不同模型条件下跟踪算法仿真

图1～2分别给出两种算法的位置与速度RMSE仿真结果。可以看出：当目标强机动时，两种算法位置与速度估计误差均显著增大，然后逐渐减小，Guide模型估计误差约为MaRV模型的75%，且收敛速度更快；当目标弱机动时，MaRV模型位置与速度估计误差增长明显，但Guide模型的位置估计误差未发生明显波动，且速度估计误差约为MaRV模型的60%；当目标不发生机动时，算法性能差别不明显。

图1 不同滤波算法位置估计RMSEFig.1 RMSE in position estimate for different filters

图2 不同滤波算法速度估计RMSEFig.2 RMSE in velocity estimate for different filters

图3～4分别给出两种算法的气动参数估计值和相应的RMSE仿真结果。为方便表现Guide模型中制导指令的变化情况，根据αlG和υG的辨识值，利用式(12)解算出表示αt和αc期望值的制导指令αtG和αcG，将各向气动参数对应的制导指令αvG、αtG和αcG变化情况一并在图3中表示。从图3中可以看出：当参数变化较为平缓时，Guide模型中制导指令与气动参数估计值非常接近，两种算法对气动参数的估计精度差别较小；当气动参数剧烈变化时，Guide模型中制导指令会随参数变化趋势方向快速下降或上升，且Guide模型收敛速度显著快于MaRV模型。从图4中可以看出：当目标未发生机动时，两种算法对气动参数估计性能相当；当目标发生机动时，Guide气动参数估计误差约为MaRV模型的80%。

(a) 阻力参数估值(a) Drag parameter estimation

(b) 转弯力参数估值(b) Turn force parameter estimation

(c) 爬升力参数估值(c) Climb force parameter estimation图3 不同动力学模型气动参数估计值Fig.3 Aerodynamic parameters estimation of different dynamic models

(a) 阻力参数RMSE(a) RMSE of drag parameter

(c) 转弯力参数RMSE(c) RMSE of turn force parameter图4 不同动力学模型气动参数估计RMSEFig.4 RMSE in aerodynamic parameter estimate of different dynamic models

分析上述仿真结果可知：当目标不发生机动时，Guide模型退化为适合于稳态跟踪的高斯-维纳模型，因此未表现出明显优势；当目标机动时，尤其是机动强度不大时，由于Guide模型中制导指令能够更快地反映目标机动的变化趋势，此时Guide模型可自适应地匹配目标当前运动状态，其性能明显优于MaRV模型；而MaRV模型采用通用的一阶马尔可夫模型，未能及时刻画目标真实运动特性，导致模型在目标机动时跟踪性能下降。

4.2 不同滤波器参数条件下跟踪算法仿真

为检验不同滤波器参数对所提气动参数模型的影响，利用表1中4个算例从滤波算法和量测参数两方面对两种跟踪算法分别求RMSE均值并进行分析。表中，滤波器有EKF和不敏卡尔曼滤波器(Unscented Kalman Filter, UKF)两种。

表1 性能对比算例参数设置

表2为位置、速度和气动参数的RMSE均值情况。可以看出：UKF的估计精度高于EKF的估计精度，但相对于模型和量测参数而言，滤波算法的性能提升作用不明显；误差协方差增大一倍，Guide模型中位置和速度RMSE均值分别增大约100%和35%，气动参数RMSE均值分别增大约40%、15%和20%；采样周期增大一倍，位置和速度RMSE均值分别增大约70%和25%，气动参数RMSE均值分别增大约240%、25%和40%。

分析以上仿真结果可知：滤波算法对模型性能影响有限，采用EKF可有效提高计算效率；减小误差协方差有助于提高位置与速度估计精度，提高采样率有助于提高气动参数辨识精度；总体上Guide模型估计精度优于传统MaRV模型，进一步证实前文结论。

表2 状态估计误差性能比较

5 结论

本文在假设HGM制导变量符合一阶时滞过程的前提条件下，研究一种面向自适应跟踪的气动参数模型。与以往相关工作相比，本算法不再假定气动参数为独立的机动模型，而是通过推导其与制导变量之间的关系，构建了一种基于制导变量变化规律的自适应气动参数模型。

仿真结果表明，当目标发生机动时，使用Guide模型的跟踪算法性能明显优于使用MaRV模型的跟踪算法性能。同时，不同滤波器参数条件下的仿真算例则进一步证实了上述结论。