微积分中不等式证明的常用方法

摘 要：不等式的证明历来是微积分学习中的难点，学生看到证明题就害怕，更是无从下手。本文总结了微积分课程中常见的证明不等式的方法，通过对比总结，让学生做到心中有数，顺利解决不等式的证明。

关键词：不等式；证明；方法

基金项目：西北政法大学教学改革研究项目““互联网+”背景下文科数学课程模块化教学改革研究”（项目编号：XJY201821）。

微积分是经济类、管理类学生所学的必修课，通过微积分的学习可以让学生正确领会一些重要的数学思想方法，提高抽象思维和逻辑推理的能力。而不等式的证明对学生的数学思维能力有较高的要求，使得很多同学掌握起来倍感困难。微积分中常见的不等式的证明很少用到求差、求商及用公式等初等的方法，更多的是和微积分中的知识点结合在一起，需要综合各个知识点完成命题。本文介绍了几种常见的不等式的证明方法，希望对同学们的学习有所帮助。

1 利用单调性证明不等式

例1：设 ，试证： 。

析：讨论在大小关系的自变量对应的函数关系时，常常会用到单调性.首先给不等式做必要的变形，选择适当的函数及对应区间，利用导数判断在区间内的单调性，与端点处的值作比较，确定不等关系完成证明。

证：要证明 ，即证 ，可转化为 。

因此可构造辅助函数为 ， ，由于

在 上连续可导，且 ，故函

数 在 上单调减少，故有当 时， 成立，即

成立，因此 成立，原不等式得证。

2 利用极值、最值证明不等式

例2：试证： ， ，试证： .

析：利用极值和最值证明不等式的方法与单调性证法相似，只不过此处的辅助函数比较多不是函数在区间的端点，而是极值和最值.

证：设 ，则 ，令 可得惟一的驻点 ，则当 时 ；当 时 ，从而 是 在 内的极大值也是最大值，即有 ，移项可得 ，原不等式得证.

3 利用函数的凹凸性证明不等式

例3：设 ， ，试证： 。

析：利用凹凸性证明不等式时主要寻找平均值和中值的变量表达形式，从而建立不等关系，完成证明。

证：不等式两边同时除以2，即， ，

左边 是函数 在 两点处的平均值；

右边 是 在中点 处的函数值。故证明不等式

只需证明 即可。

由于 ， ，故 ，则有

，故有 ，原不

等式得证。

4 利用拉格朗日中值定理证明不等式

例4：若 ，试证 。

析：不等式 的两边出现了函数和自身一阶导数形式，可以考虑用连接函数和一阶导数关系的拉格朗日中值定理。

证：对于任意的数 ，取函数 在 上满

足连续可导，由拉格朗日中值定理可知 ，使得

。在 上，导数 是单调增加的，即

有 ，故有 ，

则 ，不等式同时乘以 ，即为

，原不等式得证。

5 利用泰勒公式证明不等式

例5：设 ，且 ，试证：

析：讨论函数和变量之间的关系时，泰勒公式是最佳方法，只有泰勒公式连接了函数和各阶导数与变量的关系.

证：由于 ，可知 ；又由 的连续性知

。故由导数的定义知： 。因

此有 在 处的泰勒展开式：

因为 ， ，所以 ，于是 ，原不等式得证。

6 利用定积分定义证明不等式

例6：设 在 上连续，且 ，试证： 。

析：函数不能穿过积分符号，构造辅助函数并非一个函数可以完成，与积分相关的就可以考虑定积分的定义.

证：不等式两边同时取以 为底的指数函数，不等式变形为 ，由定积分定义知：

（1）

（2）

（1）式中的函数是n个正数的算术平均值，（2）式中的函数是这些正数的几何平均值，由于 ，由极限保号性

知（1）式大于等于（2）式，故有 ，即 ，原不等式得证。

7 利用定积分计算方法证明不等式

7.1 利用换元积分法

例7：设 在 上连续且递减，证明：当 时 。

析：观察不等式左右形式相似，只差一个参数，而参数可以通过还原完成转化，确定用换元法完成证明。

证：令 ，则 ，又因

为 在 上单调递减，且 ，故 ， ，因而

，故有

7.2 利用分部积分法

例8：试证： 。

析：观察不等式的左右两边，发现被积函数与不等式右边解析式的关系，确定用分部积分直接计算完成证明.

证：由分部积分法可得：

故原不等式得证。

8 利用变上限函数证明不等式

例9：设 是 上的单调增加的连续函数，试证 。

析：变上限函数证明不等式时主要是找一个合适的变上限函数作为辅助函数，这个不等式左右有变量的产生，能够产生变量的方法中变上限积分最常用。

证：构造辅助函数

因为

所以 在 上的单调减少，即有 ，

特别有 ，即

以上是微積分中常见的解决不等式证明的方法，要想熟练掌握不等式的证明，除了要理解掌握上述方法，还需要准确掌握每个方法中对应的知识点，做到灵活应用，希望这些方法对同学们的学习有所帮助。

参考文献

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[5]张立欣，丛申.微积分思想在不等式证明中的应用[J].高教视野，2018，13，37-38.

作者简介

齐琼（1981-），女，汉族，陕西延安人，讲师，理学硕士，西北政法大学经济学院，研究方向：高等数学教学与研究。