中考专题复习课：求联求变让老歌新唱*——以中考“二次三项式再认识”复习为例

☉江苏省海安市教师发展中心

☉江苏省海安市城南实验中学 刘东升

中考复习“年年岁岁花相似”，老歌反复唱、审美也疲劳，优秀学生常常在“题海”训练中“空转”.如何创新开展中考专题复习课，是值得每个中考备考老师认真思考的教研课题.本文结合最近一次中考“二次三项式再认识”的专题复习课例，阐释笔者对当前中考专题复习课的一些思考，期待中考复习课的研讨领域能够在“看似无路之处走出一路来”.

一、“二次三项式的再认识”教学流程

活动1：一组计算

计算：（1）（y＋1）2；（2）（x-2）2＋1；（3）（-3-a）（5-a）；（4）4m（3-m）-9.

预设解答：y2＋2y＋1，5-4x＋x2，-2a-15＋a2，12m-4m2-9.

追问1：这4个运算结果从形式上看，有什么共同点？

预设：它们都是二次三项式.

追问2：请同学们把上述二次三项式按某个字母降幂排列.

设计意图：先安排学生计算，并核对计算结果，然后给出两个追问，学生互评结果.让学生巩固基础运算，以及七年级所学习的多项式基本概念（包括按某个字母的降幂排列）.

活动2：分解因式

追问1：为什么x2-4x＋5不能进行因式分解？（学生可以从一元二次方程根的判别式，或二次函数图像与x轴的交点来解释）

追问2：能否从一元二次方程或二次函数的角度解释，为什么其他二次三项式都可以进行因式分解？

设计意图：先安排学生独立分解因式，其中第（2）题不能进行因式分解，在追问学生原因过程中引出利用一元二次方程、二次函数的解释，体现后续知识对因式分解的支持与联系.这里多数学生可能会有障碍，所以需要在突破之后，安排其他学生继续用一元二次方程或二次函数的知识来解释另外几个二次三项式为什么可以进行因式分解，为了便于学生快速构造抛物线分析研究，在学生活动单上提供几个 “平面直角坐标系”备用.

活动3：变式再练

题1：计算：（1）（x＋y＋1）2；（2）（2-a-b）（4-a-b）.

预设解答：（1）（x＋y＋1）2=［（x＋y）＋1］2=（x＋y）2＋2（x＋y）＋1=x2＋2xy＋y2＋2x＋2y＋1；

（2）（2-a-b）（4-a-b）=［2-（a＋b）］［4-（a＋b）］=8-6（a＋b）＋（a＋b）2=a2＋2ab＋b2-6a-6b＋8.

变式1：计算（x＋y-1）2；

变式2：计算（2＋a-b）（4-a＋b）.

题2：因式分解：

（1）（x-y）2＋2x-2y＋1；

（2）x2＋2mx＋m2＋2x＋2m＋1.

变式1：写出关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋2x＋2m＋1=0的解.

变式2：求抛物线y=x2＋2（m＋1）x＋m2＋2m＋1的顶点坐标（用含m的式子表示）.

设计意图：先安排学生独立练习题1，挑选学生在黑板上板书并讲解自己的思路，其他学生参与点评，教师追问其他思路，请相关学生上台演算讲解，对运用“视为整体”的处理策略或眼光表示肯定，并指出这是适当变形实现转化的重要能力，同学们要注意体会.然后安排变式练习，要求学生运用“视为整体”的处理策略.在题2因式分解之后，跟进两道变式题，拓展到含参数的一元二次方程、含参数的二次函数问题，让学生感受到在方程、函数学习和研究中，熟练进行二次三项式的分解变形是非常有必要的.

活动4：回顾小结

教师组织学生回顾梳理本课复习内容，形成如下结构化板书：

过关检测：

题1：计算：（y＋1）2-（y2-y）=______.

题2：分解因式：3a2-6a＋3=______.

（1）求出抛物线的顶点坐标.

（2）分析抛物线与x轴是否有公共点.如果有，写出公共点的坐标；如果没有，说明理由.

设计意图：4道习题分别对应着本课训练内容，同时是各地中考必考知识点，中考复习时围绕本课训练主题进行多角度的变式训练、过关检测、反馈学情是十分有必要的.

二、中考复习这首“老歌”如何新唱

1.中考专题复习要注意跨年级选题与构思

以笔者教学经历与观课所见，从上个世纪90年代初到现在近30年时间，各校在中考复习时采取的多是一轮复习、二轮复习的模式，一轮复习以知识点梳理、基础题训练为主，常常是按七、八、九年级章节、单元知识块（如数、式、函数、三角形、平行四边形等）进行归类、按序复习，二轮复习常常是按所谓的题型归类（如阅读理解型、动态型、新定义型，等等），以上复习方式主要问题在于“老歌旧唱”“老歌反复唱”，学生（特别是优秀学生）审美疲劳，数学复习课成为重复之前已反复练习过的习题的训练，数学复习课的品质难有提升.为此，我们提出了基于某个复习主题（或主线）的专题复习的设想，在上面的课例中，我们选择“二次三项式”作为复习主题，跨七、八、九三个年级进行选题与联通，整节课几个教学环节围绕开课阶段的4个二次三项式渐次展开，“一线串珠”，从不同角度分别研究这4个二次多项式及其相关问题（或变式问题）.复习趣味也大大增加，因此学生对这样的复习课也充满好奇和期待，整节课虽然是旧知复习，却仍然像探索未知领域那样充满挑战.

2.研究地区中考较难题并“分散”难点训练

当前各地（校）中考复习的一个糟糕做法是盲目选取全国各地中考试题（或所谓最新模考试题）进入自己的学校或班级进行“题海训练”，这种繁重的中考复习负担需要“精准应试”来缓解.具体来说，由于中考多是地级市（河北、河南、北京、上海、天津、重庆等地是统一命题）独立命题，试题风格真是“天上人间”“南腔北调”各不相同.作为精准应试来看，师生应该更加关注本地区近年来中考试题的风格，关注必考点、热点问题、难点问题等，然后进行反复训练、同类跟进，对热点问题进行复习、变式训练，对于难点问题，可充分展开解题细节，暴露关键步骤，然后针对一些关键步骤各个击破.像上面的课例最后提供的“解方程一些地区中考综合题中的关键步骤，它们并不一定直接考查，但是学生在解答这些综合题时，往往会分析、列出相应的繁杂方程、函数表达式，这时能否将其快速整理变形，往往能有效区分优秀学生与中档学生的解题实力，前者算得巧、算得快、算得准，而后者算得繁、算得苦、容易错.所以围绕“二次三项式”这一主题构思复习课，并不仅仅是找出不同年级在新授课期间的一些例、习题反复再练，而要到本地区中考综合题中查找是否存在某个解题步骤中的关键一步，体现二次三项式整理、变形的能力，把这些步骤抓取出来，开发成训练点，变式训练，密集练习，可以帮助学生在应对综合题时若遇到“关键一步”，也能“快速通过”.

3.解释“结构不良问题”往往通向另外领域

最近读到英国数学家、菲尔兹奖获得者蒂莫西·高尔斯在《数学》一书中关于引出有理数的论述：“为了向小孩子解释减法和除法还有着更进一步的困难，那就是这两种计算并非总能够进行”，并指出“只需要再增加两条规则来扩充我们的数系：一条给我们带来负数，另一条给我们带来分数，即我们所熟知的有理数”.从上述论述可见，数学运算上解释不够减、不够除这一矛盾的“出路”是增加规则（引入负数、分数），带来数系扩充到有理数系；我们还知道，为了解释开方所得的数并非全是有理数这一矛盾，数系进一步扩充到实数系（这事实上也就是所谓“数学第一次危机”）.所以，上面课例中的对于二次三项式“x2-4x＋5”在实数范围内进行因式分解是不可能的，那么解释这种“不可能”的“结构不良问题”就会引出一元二次方程根的判别式或二次函数图像等相关后续知识来帮助理解.这种教学价值已超出了应试价值，向学生传递和渗透数学研究方法与可能引发的开创性局面，也就是当我们的思维“自我封闭”时就会出现矛盾或不可解的问题，如果打破常规、另辟思路，往往就能开创新领域.人们常说的“入乎其内求深入，出乎其外求拓展”大抵也是这个道理.