在联系中加深对解决问题方法的理解

钱建兵

摘    要

数学学习要善用联系的思维，整体性地学。因此，教学需要关联地教、整体地教，把知识点还原为知识包，帮助学生整体性地建构，弥补知识碎片化的不足，从知识的意义处关联，善于在方法上勾连，纵向对比中融会贯通，促进理解的深度、宽度、长度与通透度。

关键词

结构 关联 整体 深度理解

数学是结构的科学，数学的知识、方法本来就是充满各种联系的整体性结构。整体有助于理解。一旦学生能够建立知识之间的联系，从整体上把握知识，对知识的理解就达到一个新的层次与水平，如怀特海所说的具有了一种“站起来环顾四周”的能力。从学习的角度讲，组块策略是一种有效的学习策略。教学中除了在复习时强调将知识“连点成串，织线成网”之外，在新授教学中也应努力弥补课时教学碎片化的缺陷，让学生由获取知识的碎片转向框架。本文以苏教版《数学》六年级上册“按比例分配的实际问题”教学为例，阐述如何以联系的观点，整体性构建知识组块，促进有深度的学习，提升解决问题教学的有效性。

一、激活意义群：拓展理解的宽度

解决问题的教学，从根本上说是意义理解的运用。因此，要沟通各种方法之间的联系，首先需要的是理清知识脉络，找准意义联结的有效途径，帮助学生主动进行意义之间的勾联，从意义的最根本处激活学生相关经验，这样才能打通一片，拓展理解的宽度。按比例分配的实际问题，从学生已有知识来看，学生习惯从份数的角度，先求出一份表示的数量，再求出几份对应的数量。在面对实际问题时，如何选择合适的表达方式，将已知与未知联系起来，是用分数解决比的实际问题的难点所在。真正内化了分数、除法、比之间的联系，是解决问题这一难点的关键。教学情境应引导学生主动去激活对比的意义的理解，沟通比、分数、除法之间的联系。

以图形形式出现的条件，更容易引发学生产生多种表达，与已有知识结构中的分数、份数及相对应的量产生关联。为了让学生主动利用两个数的比去想如何对条件与问题进行关联，可以出示一个不完整的题目，激发主动关联的需求后，再以线段图的方式出示两种颜色格子的比例关系。

学生分别从比、份数、分数三个方面对问题进行了解读，正好符合不同学生不同的已有经验。在此基础之上，学生分别从除法、分数的角度进行解答。这样，比的实际问题通过学生的自主转换得以解决。在此教学过程中，利用图形，将比、分数、除法自觉地进行了数学化的表征，看上去是三种形式，但却通过一种图形语言，实现了它们三者之间的无障碍阅读，打通了知识之间的联系。

图形语言，是一种直观模型，看似简单，却深刻。解决问题方法之间联系的根本在于对运算意义的追寻、对核心概念的表征。如分数乘、除法的实际问题，分数乘法与整数乘法的实际问题，也可以通过直观模型，让学生从意义中追根溯源，建立起整体的联系。

二、贯通方法：挖掘理解的深度

单一的意义表征产生僵化的理解，学生容易形成“题型”的思考模式，即套用固定的解题步骤，而实际上并没有达到真正的理解，这也是教学中常见的“假学会”的表象之一。具体表现在：教学时一帆风顺，完成作业时却颇费曲折，有时甚至错误连连。因此，在学生已有经验的基础上，要促进多种方法的产生，要沟通各种方法的联系，引导学生自觉优化，努力使方法向更深层次、更上位的思想积淀。

“按比例分配的实际问题”的例题如下：

从这样的例题编排中我们可以看出，作为“按比例分配”这一特定的類型区分被淡化了，更主要地强调了对比的意义的理解及在此之上的方法。不少学生在学完这一内容之后，只会用按比例分配的模式解答题目中出现的比的题目。于是，不少教师在教学中找到了解决此类问题的“捷径”：与其费心尽力教学用分数方法解决比的问题，不如索性让学生从份数角度用除法解决反而来得简单，错误又少，事半功倍。但这样教学仅沟通了比与除法的联系，但未沟通比与分数之间的联系。教材将这一部分内容编排在分数乘除法的解决实际问题之后，是为了让学生进一步体会比与分数及除法之间的联系，加深对比及分数实际问题的进一步理解，加强知识之间的联系。同时，按比例分配问题，应该是比的实际问题的一种特殊情况。学生对按比例分配的程序式解法，只是一种孤立的做法，并不能促进学生对所学知识的深刻理解。

通过上一环节的教学，学生领悟到，解决比的题目，可以将比转化成分数;也可以先求一份，再求几份。此时，改变条件，出示教材中的例题，整理出相关的信息，形成线段图。

继续以图形呈现按比例分配这类题目的基本条件，可以让学生快速把握题目特征，寻找条件与问题之间的联系，从而找到解决问题的方法。同时，由具体的方格图到抽象的线段图，学生思维从具体走向抽象。此图是份数解法与分数解法之间的“中介”，为了引导学生主动与分数实际问题进行方法上的沟通，从分数的角度表述已知与未知之间，引导学生进一步优化线段图：

优化后的图，更利于学生经验中的分数乘法问题的图式被激活，将比的关系转化成以总数为单位“1”的分率关系，当学生回顾反思之时，方法之间的联已产生：比的实际问题，其实就是表述形式改变了，根据题意画出线段图，其实就与分数实际问题一样了。理解的深度并不止步于学生做得不错，也不在于追求方法的独特，而在于方法之间贯通。旧题新解、一题多解，各种方法之间相互贯通了，就突破了孤立的理解，学生面临问题时才能左右逢源，无招胜有招。深度理解的价值，在于方法的可迁移性。

三、融合数学与生活，提高理解的通透度

联系是普遍的，“不仅是指不同的数学概念、不同的数学结论乃至不同的数学理论之间的联系，也包括同一概念不同表征之间的联系，以及数学与外部世界的联系等”[1]。数学来源于生活，算法的普遍意义最终还要向现实生活复归，打通数学内部与外部世界的联系，“通”才能“透”，“人们在从事算法的学习时往往容易忘记其所涉及的数以及他所面对的文字题中的算术问题的来源。但是，为了真正理解这种存在于多样性之中的简单性，在计算的同时我们又必须能够由算法的简单性回到多样化的现实”[1]。体会数学问题的价值，让学生从内心深处变得敞亮起来。

典型的按比例分配是如何根据投资额分配利润、如何根据人数分配任务等问题。例题是非典型的按比例分配，情境及题目的表述上和实际生活中按比例分配问题并不相同，只是方法原理相同。教材在此题之后的“试一试”中编排了一道典型的实际分配问题。意图很明显，降低按比例分配问题在表述上造成的对学生理解的难度，避免机械套用解题模式，从另一方面强化了意义与方法、强化了联系与理解。

应该说，学生对比的实际问题有了进一步的认识。接下来，根据基本原理，解决实际问题。呈现典型的按比例分配的实际问题，体会比的运用价值。笔者呈现了教材后面的练一练：

有90棵树苗，已知一组有6人，二组有5人，三组有4人。三个小组各分得多少棵？

出示时没有直接出示怎么分的条件，而是让学生充分的讨论，怎么分才合理？这样沟通了学生的生活经验，对按比例分配的价值与意义有了深刻理解。在此基础上，引出课题。这里的教学是从一般到特殊，即由比的实际问题到按比例分配的问题，再到典型的按比例分配的实际生活问题。掌握了原理就如同站在高位往下看，知识之间的整体促进了理解的通透度。

四、贯通前后，延展理解的长度

布鲁纳说：“不论教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构”。所谓结构，也就是知识之间的一致性与不同之处。让学生用新方法回望过去的问题，新旧问题融为一体，加强不同方法之间的联系，提高了解决问题的灵活性，延展了理解的长度。

沟通“按比例分配的实际问题”不同解法的同时，我们还应让学生体会到此类问题与之前列方程中的和倍问题、差倍问题之间的关系，纵向沟通知识之间的联系。因为和倍、和差問题，其实是比的问题用除法表征。与其说是解决一种新问题，不如说是学习一种新的方法，加深各种方法之间的理解与联系。让学生通过比较，丰富他们解决问题的策略。

完成一组相应的练习之后，笔者出示了五年级列方程解决和倍问题的例题。

学生在回忆了之前的方程解法之后，笔者启发学生能不能用今天学习的方法解答。学生通过线段图，明确了水面面积大约是陆地面积的3倍，其实就是水面面积与陆地面积的比是3：1，从而想到用分数解决。从而沟通了比、分数及之前的倍数之间的联系，提高了解决实际问题的能力。

从一定程度上说，学习就是建立网络，是促进学生努力改变知识组织水平，加强知识之间相互联系、相互巩固的过程。建立联系，形成知识、方法、思想上的组块，实现关联地教，就是要触及学生学习理解的长度、深度、宽度和通透度。当然，整体知识的形成、理解维度的提升，需要将教学中通过对话、交流得到的观点、经验重新整合，让学生把新生成的理解放置在一个合适的结构当中，从而形成自己的知识结构。

参考文献

[1] 郑毓信.新数学教育哲学[M].上海：华东师范大学出版社，2015.

[责任编辑：陈国庆]