一类平面三次系统的全局性态分析

方成鸿

（景德镇陶瓷大学信息工程学院，江西 景德镇333403）

0 引 言

平面微分方程定性理论中，研究系统闭轨线尤其是极限环的存在性与稳定性具有重要的理论价值与实际意义．平面二次多项式系统的研究结果较丰富，文献[1]有论述，对于三次系统，由于参数的增多，研究难度显著增加．对于如下系统：

文献[2]讨论了δ=a1=a2=a3=0时系统的全局结构．利用变换将系统化为Liénard方程或广义Liénard方程，文献[3]在a1=a3=a6=0的条件下，文献[4]在a1=a2=0的条件下，文献[5]在a6=0、a1=a+b及a4=-ab的条件下分析了系统极限环的存在性与唯一性．

文献[6]给出了系统x·=-y（1-ax）+a1x+a2x2+a3x3、=-x（1-ax）存在极限环的条件；文献[7]讨论了系统=-y+δx+mx3-ny3、=x（1+ax2）当 a＞0、n＞4 时极限环存在的条件，并给出m与δ为正数时的全局结构图；文献[8]给出了系统=-y+（a-3b）x2y+y3、=x+x3+（a+3b）xy2的全局结构图．文献[9-11]结合旋转向量场理论分析了相应平面系统的极限环存在唯一的条件．

研究平面系统存在的极限环个数是另一项重要的内容，如文献[12-14]使用Melnikov函数法分析可积的多项式系统在多项式扰动下中心分支出极限环的个数以及同宿环的分支问题．

文中考虑如下形式的系统：

它以曲线1+ax2+by2=0为垂直等倾线，通过对奇点、无穷远奇点、鞍点分界线走向的讨论，获得了系统的全局结构相图．文献[2]包含d=0时的结论，这里不妨取 d=1，否则可作适当的变换达到．

1 奇点的性态

方程（1）的右端所定义的平面向量场关于y轴对称，故中心型奇点都是中心．

定理1 ①系统（1）的奇点 O（0，0）是中心；②b＜0 时，系统（1）有奇点与 B2（0，其中B1是鞍点．若b＜-1或b=-1且a＜0，B2为鞍点；若-1＜b＜0，B2为中心；若 b=-1 且 a＞0，B2的局部由一个双曲扇形域和一个椭圆扇形域构成；若 b=-1 且 a=0，y=1 是奇直线；③（1+b）a＜0 时，系统（1）有奇点与 M2．若 a＜0，M1与 M2是鞍点；若 a＞0，M1是不稳定结点，M2是稳定结点．

除了 b=-1时，M1、M2与 B2重合成为高阶奇点，上述结论只需分析对应线性系统的奇点的性态即得．当 b=-1 时，作变换 ξ=x/2，η=y-1，系统（1）化为-2ξη≡Ψ（ξ,η）．对应线性系统有零特征值，设 y+Φ（x,y）=0 确定的隐函数为 y=φ（x），则 φ（x）=2ax2+o（x2），Ψ（x，φ（x））=-4ax3+o（x3），Φx（x，φ （x））+Ψy（x，φ（x））=（-4a-2）x+o（x），根据文献[15]中的定理7．2可得所给结论．

2 无穷远奇点的性态

作 Poincare 变换 u＝y／x，z＝1／x 及时间变换 dτ=dt/z2，系统（1）化为：

系统（2）的奇点（0，0）有 4 个特征方向，而 z=0与z=u是系统（2）的轨线，故沿这4个方向均有轨线进入或离开原点．欲了解原点附近轨线的性态，需分析4个角域轨线的特征，为此计算奇点的指数．

引理 1当 a＜0或 a=0且 b＜-1时，系统（2）的奇点（0，0）的指数 I=2；当 a＞0 或 a=0 且 b＞-1（b≠0）时，指数 I=0．

证 明：记 P2（u，z）=au2-uz+z2，P4（u，z）=bu4+u2z2，Q2（u，z）=auz，Q4（u，z）=bu3z+uz3，当 a≠0 时，计算 Cauchy 指标[15]N[P2（t，1），Q2（t，1）]即得 a＜0 时，I=2；a＞0 时，I=0．

下面讨论a=0的情形，根据文献[15]中的定理5．2，系统（2）的奇点（0，0）的指数q（t）]，其中 p（t）=t8-2t7+4t6-2t5+（16b-10）t4+2t3+4t2+2t+1，q（t）=2t（t2-1）[t4+（4b-2）t2+1]．b＞0 时，q（t）仅有 3 个单重零点，±1 与 0；b＜0 时，q（t）又增加了 4个零点，±b1与±b2， 其中

由于 b=5/8 时 p（t）恒大于零，得 b＞5/8 时 p（t）恒大于零．由于b=0时p（t）有2正2负共4个单重零点，且2正零点、2负零点间各只有1个驻点，故 0＜b＜5/8 时 p（t）至多有 4 个零点，且负零点大于－1， 正零点大于 1．于是 b＞0时，I=0．

三次函数 p（5）（t）是单增的，有一个正零点．设b＜0，由 p（4）（0）=48（8b-5）知 p（4）（t）有一正零点和一负零点； 又 p‴（0）=12，p‴（1/3）=128-5456/81，故p‴（t）恰有一负二正 3 个零点；而 p″（-1/2）=48b-12，p″（0）=8，p″（1）=192b-48，故 p″（t）恰有二负二正 4个零点；再由 p′（0）=2＞0，p′（1）=64b-16，p（0）=1，p（1）=16b，可得 p（t）在区间（0，+∞）上有 2 个零点，且位于 1的两侧．另一方面，b=0时 p′（t） 在（-∞，0）有 1 个零点 c0≈-0．8566，且在（-∞，c0）上单增．当 b＜0 时，p′（t）在（-∞，0）也只有 1 个零点，又 p（-1）=16b，可得 p（t）在（-∞，0）上有 2 个零点，位于－1 的两侧．

综上，p（t）在－1的两侧各有一个负零点，在 1的两侧各有一个正零点．当 b＜0 时，p（-b2）＞0，p（b1）＞0；b＜-1 时，p（-b1）与 p（b2）恒正；-1＜b＜0 时，p（-b1）与p（b2）恒负，于是可得 a=0 且 b＜-1 时，I=2；a=0 且b＞-1（b≠0）时，I=0．

根据对应线性系统有单重零特征值的分析法，易得：

引理 2当ab＜0时，系统（2）在 u轴上还有奇

由奇点的指数、角域个数以及分析角域附近轨线的方向，可得：

定理2系统（2）在u轴上的奇点附近的轨线拓扑结构如图1所示．

当 a＜0 且 b≤0 或者 a=0 且 b＜-1 时，系统（2）在u轴上的唯一奇点（0,0）角域附近的结构如图1（a）所示；当 a＞0 且 b≥0 或者 a=0 且 b＞-1（b≠0）时，系统（2）在u轴上的唯一奇点（0,0）角域附近的结构如图 1（b）所示．

作变换 v＝x/y，z＝1/y 以及时间变换 dτ＝dt/z2，系统（1）化为:

仅当b=0时，原点才是系统（3）的奇点．令b=0，计算得当a≠0时原点的指数为0；z=0是系统（3）的轨线，当a＞0时，原点有两个特征方向，a＜0时，原点有六个特征方向，此时也是系统（3）的轨线，即沿任何特征方向都有轨线进入或离开原点．于是，a＞0时，原点的两个角域均为双曲扇形域；由Bendixon公式[15]以及分析轨线斜率的特征，a＜0时，原点的六个角域由一个椭圆扇形域、三个双曲扇形域及二个抛物扇形域构成．

定理3系统（3）的原点附近的轨线拓扑结构如图2所示．

图2 v轴上的奇点

3 全局结构

引理 3系统（1）从点 N1（0，-δ1）出发的解曲线若到达正 y 轴，则交点必位于 N1'（0，δ1）的下方，其中 δ1＞1．

证 明：设 y=ø（x）是系统（1）从点 N1到 N2（δ2，0）的解，其中 δ2＞0．注意到 0＜x＜δ2时，ø（x）＜0，1=ax2+b[ø（x）]2＞0，可得

引理4当a=0时，系统（1）有通解by3+2（b+1）y+（b+1）ln（1-y）2+C；当 b=0 时，有通解（1-y）ey=C（1+ax2）1/2a，其中 C 是积分常数．

定理 4设 a=0，则系统（1）在 b＜-1、b=-1、-1＜b＜0 及 b＞0 时的全局相图分别如图 3（a）～图 3（d）所示．设 b=0，系统（1）在 a＜0、a＞0 时的全局相图分别如图 3（e）、图 3（d）所示．过曲线y=-ø（x）上的点的轨线都是从右向左穿过该曲线，故结论成立．

由此可知，鞍点B1的分界线若到达正y轴，交点必位于点B2的下方．

图3 a=0或b=0时系统的全局结构

引理 5当 a＜0 且-1＜b＜0 时，系统（1）存在连接鞍点M1与M2的异宿闭轨．

证 明：设x≤0），L1是过 M1且在 M1点切线斜率大于 kM1≡的开口向下的抛物线弧．易知φ1（y）=（1-a）y3+2ay2-（2+a）y+1 在（1，+∞）上恒正，可推出Q/P|L1＜（1-a）x/b，于是鞍点 M1位于直线 y=1 上方的分界线始终位于L1的下方，必到达y轴，根据向量场关于y轴的对称性，分界线最终进入M2点，而y=1是解曲线，故系统（1）存在连接鞍点M1与M2的异宿闭轨．

引理 6当 a＜0且 b＞0时，系统（1）存在连接鞍点M1与M2的异宿闭轨．

证 明：由于其中 τM是垂直等倾线11+ax2+by2=0在鞍点M1的切线斜率，故M1位于直线y=1下方的分界线必到达负x轴，应用引理3的比较方法，可知其穿过垂直等倾线x轴后与双曲线1+ax2+by2=0的左支的交点必位于M1'的上方，M1'是M1关于x轴的对称点．

由定理4知，a=0且b＜0时，鞍点B1有同宿环．b不变，让a＜0，比较轨线切线的变化可知，这时鞍点B1仍有同宿环．于是得到：

定理 5设 a＜0，则 b＜-1 时系统（1）全局相图如图 3（a）所示，b=-1、-1＜b＜0 及 b＞0 时的全局相图分别如图 4（a）～图 4（c）所示．

图4 a＜0时系统的全局结构

引理 7当 a＞0 且 b＜0 时，系统（1）的鞍点 B1有同宿环．

证 明：已知a＞0且b=0时，系统（1）的唯一奇点原点是中心，故从负y轴上出发的轨线均到达正x 轴．记区域且 b＜0时，对 D内任意点恒有故右半平面离开鞍点B1的分界线必到达正x轴，再由引理3得证．

引理 8当 a＞0 且 b＜-1 时，系统（1）有无数条轨线离开M1进入M2．

证 明：由定理 1知，这时，M1是不稳定结点，M2是稳定结点．平移原点至 M1，系统（1）所对应的线性系统为，由 G（θ）=2bsinθ（sinθ-kM1cosθ）得M1点的特征方向是 θ=0、θ=π、θ=θ0以及 θ=π+θ0，其中 θ0=arctankM1．又 H（0）=（2-4a）（-1-b），G′（θ0）H（θ0）=（2a-1）（-1-b）/a，故当 a＞1/2时，只有一条轨线沿θ=0及θ=π离开奇点M1，其余轨线均沿 θ=θ0及 θ=π+θ0离开 M1；当 0＜a＜1/2时，只有一条轨线沿 θ=θ0及 θ=π+θ0离开奇点 M1，其余轨线均沿θ=0及θ=π离开M1．当a=1/2时，M1是退化结点，所有轨线沿θ=0及θ=π离开M1．

是垂直等倾线1+ax2+by2=0在点M1的切线斜率，故过D1与D2公共边界线上点的轨线必以M1为α极限点；又系统在区域D2没有无穷远奇点，该轨线必在有限时间到达正y轴，再由对称性可知，该轨线必以M2为ω极限点，即得结论成立．

定理 6 设 a＞0， 则 b＜-1、b=-1、-1＜b＜0 时系统（1）的全局相图分别如图 5（a）～图 5（c）所示，b＞0 时的全局相图如图3（d）所示．

4 研究展望

前面分析了1+ax2+by2=0以曲线为垂直等倾线的一类多项式微分系统的全局结构相图，进一步可以分析原点不是该垂直等倾线的对称中心的情形，以及以抛物线为垂直等倾线的平面系统的全局结构．此外，使用Melnikov函数法可以分析系统（1）在多项式扰动下中心以及同宿环的分支问题．

图5 a＞0且b＜0时系统的全局结构