平面向量与三角函数的交汇与融合

郑泽芹

【摘要】平面向量与三角函数的综合题在各类考试中经常能遇到，作为近年来高考热点题型需要学生重点掌握.想要高效准确地解决平面向量与三角函数的综合题，一方面，要全面、系统地了解三角函数和平面向量的知识，另外一方面，也要对常见题型和解题方法有很好的认识.本文主要对平面向量与三角函数的交汇与融合及解题思想方法进行探究.

【关键词】平面向量;三角函数;综合题;解题方法

平面向量将数、形结合在一起，是中学数学学科知识交汇和联系多项内容的媒介.平面向量与三角函数的交汇和融合使三角问题富于变化，在平面向量与三角函数的交汇融合之中，平面向量既可以表现为一种“包装”形式，又可以表现出一定的工具性，不仅能很好地体现平面向量与三角函数的内在联系与相互转化关系，还可以体现平面向量的工具作用与三角变化的灵活性.

一、平面向量与三角函数的交汇融合

（一）平面向量与三角函数的联系

平面向量是数学学科中的重要概念与工具，与代数、几何均有十分密切的联系，并逐渐成为高中阶段数学学科知识网络中的一个交汇点.三角函数是基础初等函数，在高中数学学科中尤为重要，三角函数的定义、性质具有显著的特征及规律性，与代数和几何的联系也尤为紧密.故平面向量和三角函数综合题备受高考命题者青睐，是高考命题的热点.在平面向量与三角函数的交汇处设计试题千变万化、层出不穷，此类问题经常以解答题形式出现，考查知识点涉及平面向量平行、垂直、数量积等.在此类问题中向量多作为知识背景或载体形式出现，考查重点实际为三角函数，重点在于考查向量的工具作用.处理这类问题时需要利用向量知识将题目转化成三角函数进行求解，如何将平面向量知识背景转化成三角函数关系式，如何用平面向量来解决三角函数的问题，这些都是解题的关键.

（二）平面向量與三角函数中的数学思想方法

数学思想方法是解决三角函数与平面向量问题的指南，化归思想、函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等在解决平面向量与三角函数的交汇融合问题中至关重要.（1）化归思想.化归思想在三角函数中的应用主要体现在化多角为单角、化未知角为已知角、化高次为低次、化特殊为一般、化多种函数名称为一种函数名称.在平面向量中的应用中主要体现在化三角函数问题为平面向量问题，以平面向量知识去解决问题.（2）函数方程思想.函数方程思想是用函数、方程的方法处理变量与未知数之间的联系，从而解决问题.（3）分类讨论思想.分类讨论思想在平面向量中的广泛应用，具体体现在科学分类、不重复、不漏掉地解决向量问题.因三角函数值或性质只能在一定象限范围内应用，当在一个更广的范围内求解问题时需要对角所在的不同象限将问题一一解决.（4）数形结合思想.利用三角公式证明三角函数几何性质，是“以数助形”方法;利用单位圆的三角函数线、三角函数图像求解三角问题，是“以形助数”方法;利用单位圆研究三角函数几何意义表示三角函数的三角函数线即平面向量.

这是一道将向量作为基础的三角函数边长求解问题，解题关键在于根据向量知识对三角形边长进行求解.对这类问题的解题指导，首先需要对三角函数边长与角的关系、边角关系、直角三角形三边关系等建立知识框架，保证学生可以掌握三角函数求边长的问题.本题解题时需要先对三角形形状进行判断，明确题目中的限制条件，找出存在的相关关系，结合平面向量、三角函数等内容，求解最终结果.

三、结束语

平面向量与三角函数的交汇及融合是高考考查的重点和热点问题，这类题型多数是以三角函数问题为背景的向量描述，需根据向量运算性质将向量问题转变为三角知识进行解题，三角函数才是考查的主体.平面向量与三角函数的综合题考查的要求通常不高，在解题时需要首先考虑向量的工具性及其作用，灵活运用平面向量和三角函数的性质进行解题.

【参考文献】

[1]余文泰.数学三角函数解题常见误区探讨[J].现代商贸工业，2016（33）：332-333.

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