椭圆离心率的求解思考

何婷

【摘要】椭圆离心率作为椭圆几何性质基础上发展出来的拓展课程，它既可以辅助学生以公式法求解椭圆离心率问题，还可以使用一些特别的技巧跟快捷的方法解决椭圆的离心率问题.它可以引导学生从椭圆基础的定义入手，去了解更深层次的几何问题，发展学生的思维活动，提高学生的计算能力.椭圆离心率的计算也可以使学生认识到如何将复杂的问题简单化.

【关键词】椭圆离心率;高中数学;解题方法

高考中出现的椭圆相关的题目的难度适中，但是还是要求学生有一定的作图分析能力.学生要在椭圆离心率的问题中，学生普遍感受是入手容易，计算难.其实主要体现在几个方面的问题，首先是对题目的理解和一些条件之间的等价代换，其次是整合问题与解题路径的选择，最后一个问题就是学生处理问题时的计算能力.这三点成为制约学生掌握好这部分知识的命门，所以要想熟练的求解椭圆离心率问题，就一定要掌握一定的方法.

一、对求解椭圆离心率时学生出现的主要问题

（一）求解一道数学问题最开始的问题就是理解题目的本意，而要完成这个目标的必要工具就是对题目中的相关概念的理解和掌握.椭圆离心率的问题也是这样，只有真正的把握概念、注意概念产生的背景以及变化，才能正确分析题目.而有一些学生并不重视对概念的理解及其演变，导致解题的时候对题目理解不是很到位，對题设的隐含条件不会挖掘.最后题目做不对.例如，为什么初中所学的方程y=1x所对应的图像也叫双曲线，它和高中所学的双曲线x2a2+y2b2=1（其中a>0，b>0）有什么区别和联系？这样的问题学生就在弄不懂题目本意的时候出现回答错误.

（二）还有些问题体现在解题方法的选择和对条件的整合，一道数学题无论其万般变化，但最后都是围绕核心知识点展开，当学生的知识体系完善后，就会面对解题思路和方法的选择上.学生经常找不到正确的方法或者找到的方法步骤烦琐易错，所以对这样的情况，需要教师对解题方法系统化，让学生快速分析条件，选择方法，正确解题

（三）最后一个问题也是最根本的问题：学生的计算能力.即使学生的方法烦琐，只要计算能力可以，也是有作对题目的可能性的.所以要学生学会解椭圆离心率问题，更要从根本上解决学生计算能力的问题，大部分学生计算能力提不上来主要是在公式运用以及数字计算上的不灵活性所局限的.许多教学模式都认为学生应该“多想一点，少算一点”.而正是这样的想法就会导致学生一些最基本的计算上出现差错.

二、椭圆离心率的求解思路

对椭圆离心率的求解问题主要可以采用数形结合的思想，以“代数法”和“几何法”的形式进行解题.以下面例题为例进行说明.

例 求F1，F2为左右焦点的椭圆x2a2+y2b2=1，点A，B在椭圆上，使四边形AF1F2B为正方形，求椭圆离心率e？

（一）利用“代数法”解决这个问题，可以使问题“点在椭圆上”转变为“点的坐标满足方程”，通过把点B的坐标代入椭圆方程，可以得到满足a，b，c关系的方程，另外利用离心率是“ac”的代数特征，在引导学生将方程变形成关于“ca”结构的方程，同时提示学生记住通径长度的一半，就可以知道正方形的边长便是2c，也就是通径的一半，列出方程求e，这种方法的计算会相对简单.

数学中代数的方法解决问题是很常见的，尤其是遇到一些十分复杂的未知量的时候，引入代数法，化未知为已知.这样的方法可以大大地降低问题的复杂程度，同时在很多问题中没有确切的数字只有复杂的代数关系，这样的题目从代数法的角度入手，只要熟练的把握其中的每一个量之间的关系，就可以把握题目的思维路线，并且通过简单的未知量求解就可以算出答案，这样的方法可以是学生通过整理条件所提到的关系而理清题目，不会出现盲目的面对题目的问题.这样的设置未知量的方法可以帮助学生快速理清题目，并在求解未知量的计算过程，直白简单，和解方程如出一辙.

（二）利用“几何法”就要把握好椭圆的几何定义，利用“点B是椭圆上的点”这一突出特征引导学生连接BF1，设F1F2=2c，利用正方形图形的几何特性得出BF1=22c，再结合椭圆的定义以及离心率的相应公式，可以快速计算离心率的值为2-1.

在几何法解决这样的问题的时候常常不需要作出椭圆的相关图形，而只需要标注出相关点的位置，并对焦距和长短轴等必要的信息进行标注，就可以借助相应的图形自身关系解出题目所求.这样的方法可以不受作图不标准对解题的影响，从而可以提高解体的效率和方法.应用几何法可以提高学生对问题的分析能力，加强学生系统性和有效性的整合题设和条件.

（三）方法小结

无论是“代数法”还是“几何法”都需要熟练掌握，有些题设可以通过二者的有机结合，使题目更快地解答出来.代数法可以帮助学生整理题设和条件，几何法可以提高学生对椭圆离心率问题求解问题的分析能力.

三、总 结

解决椭圆离心率的问题时，既要学会几何解法的简洁和优越，也要掌握代数法的方便和易懂.学生要学会应用数形结合的思维方式，加强作图和审题能力的培养，要学会适当的转化思维.要拓展学生的思维能力，特别是思维的严密性和完整性，从而提升学生的数学核心素养.

【参考文献】

[1]许昌满.一道数学高考试题的多元透析[J].中学教研（数学），2014（12）：36-39.

[2]谢全苗.数学解题教学中要辩证地看待“通法”与“巧法”[J].数学通报，2001（6）：33-34.