基于小波分析的中牟县地下水位多尺度变化特征研究

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(1.华北水利水电大学 地球科学与工程学院，河南郑州450046；2.浙江化工工程地质勘察院有限公司，浙江杭州311122)

地下水动态变化特征包含地下水位(埋深)不同规模的周期、频率、变化幅度等分布规律，了解了这些规律有利于研究地下水位的变化历史，并且可以预测其演变趋势[1]，同时也可为地下水资源可持续开发利用提供有力依据。小波分析是由傅里叶变换发展而来，能够同时反映出时域和频域两个方面的特性，经过近年来的研究探索，已经在医学成像与诊断[2]、信号分析[3]、机械的故障诊断[4]等方面得到了广泛应用。地下水位为非平稳时间序列，序列中包含有周期、频率等多种变化特征，而小波分析的方法可以清晰地提取出这些隐藏的规律性，从而揭示序列在不同尺度的变化特征。Li Hui等(2018)[5]利用小波分析方法，研究了西安1965—2013年地下水位动态变化规律，并且在考虑不同水文地质条件的情况下，分析了地下水位与其驱动力的相关性。Uma Seeboonruang(2018)[6]使用小波分析研究了泰国中部平原湄南河流域地下水动态变化，并揭示了气候变化对地下水动态变化的影响关系。凤蔚等(2017)[7]依据雄安新区地下水位资料，采用连续小波变换的方法分析了1991—2016年时间序列的多尺度变化特征。本文将采用Morlet函数对中牟县地下水埋深序列进行小波分析，以了解中牟县地下水埋深动态变化规律，为中牟县地下水资源开发利用及可持续发展提供科学依据。

1 研究区概况

中牟县隶属于河南省郑州市(图1)，地势西高东低，南北高中间低，平均海拔113.5 m。中牟县属典型的中纬度暖温带大陆性季风气候，据统计，全县多年平均气温14.2 ℃，多年平均降水量600.8 mm，多年平均水面蒸发量958.2 mm。

图1 研究区地理位置

中牟县浅层地下水系统具有埋藏浅、厚度大、分布广而稳定、渗透性强、补给快、富水性好等特点。浅层地下水含水层为松散岩类孔隙含水层，一般为潜水，局部为微承压水。北部浅层地下水主要赋存在全新统黄河冲积而成的含水岩层中，含水层上部为亚砂土、粉细砂，下部为中细砂、中粗砂，构成上细下粗典型的“二元结构”或粗细相间的“多元结构”；南部浅层地下水主要赋存在40 m厚度以内的上更新统和新近系含水层中，其分布规律、成因类型、岩性、厚度及富水程度与地形地貌密切相关。中牟县境内地形平坦，浅层地下水的补给来源主要是大气降水，其次是河流入渗、渠系渗漏、灌溉入渗补给等；主要的排泄方式有蒸发、地下水开采和越流。

2 数据与方法

地下水位数据为中牟县17眼观测井(图1)1990—2015年地下水埋深资料，各观测井埋深等值线图见图2。 另外，资料显示虽然在2005年左右中牟县地下水埋深有所减小，但是由于多年来地下水的过量开采，区内地下水位不断下降，所以近30 a来中牟县地下水埋深累积趋势还是以增大为主。1990—2015年中牟县地下水埋深平均增加了5.17 m，最大增加了11.26 m。北部地区有引黄水及黄河侧渗补给，地下水资源相对比较丰富，农业灌溉主要以引黄水为主，引黄水不足时开采地下水补给，地下水埋深相对较小，变化不是很明显；而南部地区缺乏可以利用的地表水，农业灌溉和生活用水主要开采地下水，特别是城关镇、韩寺镇等地，由于地下水资源量的过度开采，地下水埋深不断增大，形成降落漏斗。

图2 中牟县浅层地下水埋深等值线(2000年)

小波分析的前提是小波函数的选择，因为本文使用的地下水埋深资料包含连续的的“多时间尺度”变化特征，所以选取连续小波变换，另外，以实小波变换系数为判断依据容易出现虚假震荡，而采用复小波变换得到的小波系数，实部和虚部相差π/2，能够消除这一虚假震荡，使分析结果更为准确[8]，因此本文选用Morlet连续复小波。

小波函数ψ(t)∈L2(R)通过伸缩和平移构成一簇函数系：

(1)

式中ψa,b(t)——子小波；a——尺度因子，反应小波的周期长度；b——平移因子，反映时间上的平移。[8]本文选用的Morlet小波函数：

ψ(t)=π-1/4eict-t2/2

(2)

式中t——时间;c——无量纲频率;i——复数。

Morlet小波伸缩尺度a和周期T有如下关系：

(3)

当c取6.2时，T≈a，因此Morlet小波适用于研究序列周期性变化。

给定的能量有限信号f(t)∈L2(R)，其连续小波变换为：

(4)

将时间域上的关于a的所有小波系数的平方进行积分，得到小波方差：

(5)

小波方差随尺度a的变化过程称为小波方差图，它能够反映波动的能量随尺度的分布，可以确定一个时间序列存在的主要周期成分[9-10]。

3 结果与分析

3.1 年尺度地下水位变化特征

根据中牟县17口地下水观测井1990—2015年年均地下水埋深资料，采用Morlet小波研究地下水埋深时间序列的年尺度变化特征[11-13]。首先要对数据进行对称性两端延伸，来消除或减小序列起始点和结束点附近的边界效应，在进行完小波变换后，要再去掉之前两端延伸数据的小波系数，接着计算小波系数的实部、模及模方，应用Surfer软件绘制中牟县地下水埋深小波系数实部、模、模方等值线和小波方差图。从中能够看出所研究的序列不同时间尺度上变化特征，统计结果见表1。

表1 中牟县地下水埋深年尺度变化周期

大部分观测井以25 a左右的时间尺度为第一主周期，以36 a左右的时间尺度为第二主周期。根据中牟县地下水平均埋深小波系数实部、模、模方等值线(图3)、小波方差(图4)，中牟县地下水平均埋深年尺度变化第一主周期25 a，第二主周期36 a。

从图3中可以清晰地看出中牟县地下水动态变化存在多尺度时间特征。图3a为小波系数实部等值线图。在地下水位变化过程中存在着35～40 a，22～30 a以及7～12 a的3类尺度的周期变化规律。其中，在35～40 a尺度上出现了地下水变化的准一次震荡；在22～30 a时间尺度上存在准两次次震荡，同时，还可以看出在这个尺度的周期变化具有全域性，在整个研究时段表现的非常稳定；而7～12 a尺度的周期变化，在2007年以前表现的较为稳定。图3b是小波系数的模值等值线图，能够反映出不同时间尺度变化周期所对应的能量密度在时间域中的分布情况，系数模值愈大，表明其所对应尺度的周期性就愈强。从图中可以看出，在地下水位变化过程中，22～30 a时间尺度模值最大，说明该时间尺度周期变化最明显，其次是7～12 a时间尺度的周期变化，其他时间尺度的周期性变化较小。图3c是小波系数的模方等值线图，小波系数的模方相当于小波能量谱，可以分析出不同周期的震荡能量。

a) 实部

b) 模

c) 模方图3 中牟县地下水平均埋深小波系数等值线

图4 中牟县地下水平均埋深小波方差

由中牟县年平均地下水埋深小波方差图可以看出存在3个比较明显的峰值，依次对应着36、25和10 a左右的时间尺度。其中，25 a左右的时间尺度对应着最大峰值，表明25 a左右时间尺度为中牟县地下水动态变化的第一主周期；第二大峰值对应36 a的时间尺度，为动态变化的第二主周期；同理，第三峰值对应的10 a的时间尺度为变化的第三主周期。以上3个周期的波动控制着中牟县地下水埋深在整个时域内的变化特征。

3.2 季节尺度地下水位变化特征

根据中牟县1990—2015年4个季节地下水平均埋深资料，采用小波分析计算其周期性变化，小波方差见图5。

从图中可以看出，中牟县春季地下水平均埋深变化以25 a左右时间尺度的周期为第一主周期，以9 a左右时间尺度的周期为第二主周期；夏季以25 a左右时间尺度的周期为第一主周期，分别以36、10 a左右时间尺度的周期为第二、第三主周期；秋季以25 a左右时间尺度的周期为第一主周期，分别以36、11 a左右时间尺度的周期为第二、第三主周期；冬季以25 a左右时间尺度的周期为第一主周期，分别以36、10 a左右时间尺度的周期为第二、第三主周期。

a)春季

b)夏季

c)秋季

d)冬季图5 中牟县4个季节地下水平均埋深小波方差

3.3 地下水位变化特征与降水量的关系

3.3.1年尺度地下水位变化特征与降水量的关系

根据中牟县1990—2015年年均降水资料，采用小波分析计算其周期性变化，小波方差见图6。

图6 中牟县年平均降水量小波方差

中牟县年平均降水量变化以25 a左右时间尺度的周期为第一主周期，分别以9、4 a左右时间尺度的周期为第二、第三主周期。根据前文年尺度地下水位变化特征，可以看出降水变化的第一主周期与地下水埋深变化的第一主周期相同，降水变化的第二主周期与地下水埋深变化的第三主周期接近。年尺度下降水量周期性变化对地下水埋深变化具有一定的相关性[14-15]。

3.3.2季节尺度地下水位变化特征与降水量的关系

根据中牟县1990—2015年4个季节平均降水资料，采用小波分析计算其周期性变化，小波方差见图7。

中牟县春季降水量变化以36 a左右时间尺度的周期为第一主周期，分别以14、9 a左右时间尺度的周期为第二、第三主周期；夏季以36 a左右时间尺度的周期为第一主周期，分别以25、8 a左右时间尺度的周期为第二、第三主周期；秋季以14 a左右时间尺度的周期为第一主周期，分别以6、8 a左右时间尺度的周期为第二、第三主周期；冬季以20 a左右时间尺度的周期为第一主周期，分别以37、6 a左右时间尺度的周期为第二、第三主周期。根据前文季节尺度地下水位变化特征，可以看出春季降水变化的第三主周期与地下水埋深变化的第二主周期相同；夏季降水变化的第一主周期与地下水埋深变化的第二主周期相同，降水变化的第二主周期与地下水埋深变化的第一主周期相同；秋季降水变化的第一主周期与地下水埋深变化的第三主周期接近；冬季降水变化的第一主周期与地下水埋深变化的第一主周期接近，降水变化的第二主周期与地下水埋深变化的第二主周期接近。

a)春季

b)夏季

c)秋季

d)冬季图7 中牟县4个季节平均降水量小波方差

因此季节尺度降水量周期性变化对地下水埋深变化具有一定的相关性。地下水埋深随季节变化规律性较强。埋深最大值一般出现在3—5月，最小值则出现在6—9月，埋深年内变幅在3 m左右。出现这一现象主要是因为大气降水是中牟县浅层地下水的主要补给来源，降雨量会影响地下水埋深的变化。中牟县处于中纬度暖温带大陆性季风气候区，汛期集中，6—9月份的降水量占全年降水量的62.1%，而且这一时段内降水多呈液态，可直接补给地下水，从而使地下水埋深减小; 年内其他月份降水量少且多以固态形式积累至春季，春季气温回升较快，且天气干燥、风多且大、蒸发量大，故这部分的降水多以升华的形式直接变为气态，难以被土壤吸收补给地下水。

4 结论

a) 年尺度中牟县地下水水位变化：25 a左右时间尺度的周期震荡最强，为中牟县地下水动态变化的第一主周期；36、10 a左右时间尺度分别为第二、第三主周期。

b) 季节尺度中牟县春季地下水平均埋深变化以25 a左右时间尺度的周期为第一主周期，以9 a左右时间尺度的周期为第二主周期；夏季、秋季及冬季均以25 a左右时间尺度的周期为第一主周期，分别以36、10 a左右时间尺度的周期为第二、第三主周期。

c) 通过年尺度季节尺度降水量变化：周期分别与对应的中牟县地下水埋深变化周期比较，可以看出两者均具有一定的相关性。