基于Haar小波的非线性随机Ito- Volterra积分方程的数值解

默秋叶 王 利

(北京化工大学 数理学院， 北京 100029)

引 言

随机函数方程在物理、金融、生物等领域的应用逐渐增多，因此对于随机方程的研究非常有必要。由于这类方程的精确解在许多情况下是无法得到的，因此通过一些数值方法来求取近似解是常用且有效的方法。许多学者求解这类方程用不同的函数或多项式，如block- pulse函数[1]、泰勒级数[2]、欧拉多项式[3]、伯努利多项式[4]和切比雪夫小波[5-6]等。Fakhrodin[7]研究了利用Haar小波求解线性随机Ito- Volterra积分方程，但并未给出非线性情况下的数值解。本文在文献[7]基础上，考虑用Haar小波来解非线性随机Ito- Volterra积分方程,并分析了基于Haar小波的数值解和精确解的误差。

1 Haar小波

1.1 Haar小波结构

定义1[7-8]在支撑域为t∈[0,1)的范围内，Haar函数的定义为

在区间[0,1)上定义的平方可积函数f(t)可被Haar小波展开为

(1)

式(1)中的无限序列可被截断为m=2J(J为给定的小波分辨率水平)，即

(2)

式中，i=0,2j+k，0≤j≤J-1，0≤k<2j。

式(2)用向量形式可表示为

f(t)≃FTH(t)=HT(t)F

式中F和H(t)分别为Haar系数和Haar小波向量，且有

(3)

令k(s,t)∈L2([0,1)×[0,1))，类似地k(s,t)可用Haar小波展开为

k(s,t)≃HT(s)KH(t)=HT(t)KTH(s)

1.2 block- pulse函数

定义2[1,9]定义m个区间的block- pulse函数为

(4)

φi(t)φj(t)=δijφi(t)，i,j=1,2，…,m

(5)

式(5)中，φi(t)和φj(t)是正交的，即

式中

(6)

对任意的m维列向量F，很容易得到

(7)

(8)

1.3 Haar小波和block- pulse函数关系

令block- pulse函数中的T=1，则会得到Haar小波和block- pulse函数关系。

定义3[7]因H(t)和Φ(t)分别为m维Haar小波向量和block- pulse函数向量，相应地，向量H(t)可用向量Φ(t)表示为

H(t)=QΦ(t)，m=2J

式中，Q为m×m矩阵，其i行l列元素为

式中i,l=1,2，…,m，i-1=2j+k，0≤k<2j。

由式(7)、(8)和定义3很容易得到引理1。

引理1[10]对任意的m维列向量F，有

(9)

(10)

2 随机积分算子矩阵

与式(6)中Φ(t)有关的积分可表示为[1]

(11)

式中P是m×m维block- pulse函数的积分算子矩阵，并且有

与Φ(t)有关的Ito积分可表示为[1]

(12)

式中B(s)是布朗运动，Ps是block- pulse函数的随机积分算子矩阵，且有

在block- pulse函数的积分算子矩阵基础上，利用定义3可求得Haar小波的算子矩阵。

式(3)中Haar小波向量H(t)的积分可表示为

(13)

式中Λ=QPQ-1为Haar小波的积分算子矩阵。

同理，H(t)的Ito积分可以表示为

(14)

式中Λs=QPsQ-1为Haar小波的随机积分算子矩阵。

3 方程的转化和求解

(15)

式(15)为非线性随机Ito- Volterra积分方程。式中，X(t)、f(t)、k1(s,t)、k2(s,t)、N1(s,X(s))和N2(s,X(s))是定义在概率空间(Ω,F,P)上的随机过程，且X(t)未知。

利用Haar小波随机积分算子矩阵求解式(15)。首先令

(16)

由式(15)和式(16)，可得

(17)

然后将X(t)、f(t)、k1(s,t)、k2(s,t)、u1(t)和u2(t)近似用Haar小波向量表示为

(18)

将式(18)的近似趋近代入式(17)可得

(19)

通过式(8)、(9)、(13)和(14)，式(19)可化为

式中

(20)

式(20)给出了一个有2m个代数方程的非线性系统，每个代数方程都有同样数量的未知系数，这样就可以通过牛顿迭代方法得到U1和U2的分量，进而可得到式(15)的近似解为

即

(21)

4 误差分析

对第3节得到的目标方程的求解方法进行误差分析。将Xm(t)记为由式(21)得到的X(t)的近似解，由于函数的精确解未知，所以利用误差估计em(t)=X(t)-Xm(t)来衡量近似解的优劣，并定义‖X(t)‖=sup |X(t)|。

定理1[7]假设f(t)和k(s,t)是足够光滑的函数，(t)和(s,t)分别是f(t)和k(s,t)由Haar小波函数得到的近似估计，则f(t)与(t)、k(s,t)与(s,t)的误差边界为

(22)

定理2假设X(t)和Xm(t)分别为式(15)的精确解和由Haar小波得出的近似解，给出以下条件：

①‖X(t)‖≤r，t∈[0,1]；

②‖ki(s,t)‖≤Mi，(s,t)∈[0,1]×[0,1]，i=1,2；

③Lipschitz条件

‖Ni(t,X(t))-Ni(t,Xm(t))‖≤Li‖X(t)-Xm(t)‖，i=1,2；

④线性增长条件

⑤L1(M1+λ1(m))+‖B(t)‖L2(M2+λ2(m))<1。

从而可以得到

‖em(t)‖=‖X(t)-Xm(t)‖=O(m-1)

(23)

证明：假设ui(s)和i(s)分别是方程(17)的精确值和近似值，则有

(24)

由条件③和定理1可得

(25)

由式(25)可得

‖X(t)-Xm(t)‖≤‖f(t)-(t)‖+‖k1(s,t)u1(s)-1(s,t)1(s)‖+‖B(t)‖‖k2(s,t)u2(s)-2(s,t)2(s)‖

(26)

进一步由定理1和条件①、②、④可得

‖ki(s,t)ui(s)-i(s,t)i(s)‖≤‖ki(s,t)‖‖ui(s)-i(s)‖+‖ki(s,t)-i(s,t)‖(‖ui(s)-i(s)‖+‖ui(s)‖)≤(Mi+λi(m))Li‖em(s)‖+

(27)

由式(26)、(27)和条件⑤可得

‖em(t)‖=‖X(t)-Xm(t)‖=O(m-1)

综上，定理2得证。

5 结束语

本文利用Haar小波的算子矩阵和随机算子矩阵求解非线性随机Ito- Volterra方程，得到了数值解方程，然后通过对目标方法的收敛分析和误差分析得出，基于Haar小波的非线性随机Ito- Volterra积分方程的数值解是非常方便和有效的。