带有一种新佣金率的拍卖模型

杨卫星 程禹铭

(北京化工大学 数理学院， 北京 100029)

引 言

经典的拍卖理论研究中，保留价受到了足够的重视[1-3]。代表性的结论如下：Samuelson等[1]给出了一级价格密封拍卖中卖者的最优保留价满足的必要条件；McAfee等[2]用更简便的方法得到了与Samuelson等[1]相同的结论，而且给出了最优保留价应该满足的充分条件。

相比保留价，拍卖佣金的研究成果并不多。王彦等[4]将佣金率引入传统的一级和二级密封式拍卖中，分析了佣金率对拍卖结果的影响。本课题组[5]进一步将佣金率内生化，研究了一类同时带有保留价和佣金率的密封式拍卖模型，首次在考虑拍卖行的最优佣金率问题基础上，给出了最优佣金率满足的必要条件和充分条件。

冉茂盛等[6]建立了带有佣金率以及保留价的一口价拍卖模型，研究了卖者的最优一口价和最优保留价，并且讨论了拍卖行的最优佣金率问题。本文作者[7]在前期研究中建立了一个带有反比佣金率c=(1/k)b和保留价的拍卖模型,并求出了投标策略和拍卖参与各方的预期收益；但文献[7]的反比佣金设置过于简单，导致无论是第一价格拍卖还是第二价格拍卖，拍卖行的收入都是常数1/k。

1 模型与分析

卖方设定保留价r,保留价的设定使得拍品的成交价不低于r。可以得到投标策略满足的初始条件为

(1)

(2)

(3)

式中Pr(win|b)表示报价为b的投标者的获胜概率。

(4)

式中Pr(win|b(vi))表示报价为b(vi)的投标者的获胜概率。

2 均衡投标策略

2.1 一级价格密闭式拍卖

(5)

证明：首先证明必要性。

若某个投标者的私人估价为v，报价为b(x)，则其期望收益为

(6)

式中，由于b(·)是单调递增的，所以式(6)在x=v时获得极大值，因此当x=v时，∂π/∂x=0，即

(7)

(8)

从而可得出

其次证明充分性。

由式(5)、(7)、(8)可得

(9)

(10)

两式相减得

π(v,b(v))-π(v,b(t))=(t-v)Fn-1(t)+

(11)

式(11)中，当t≠v时恒大于0，证明b(v)确实是投标者的最佳选择。定理1得证。

证明：由式(5)可得

(12)

证毕。

定理2与实际情况是相符合的，即当保留价r增大时，由于均衡报价必须大于保留价，所以均衡报价也增加；当k变大时，佣金率c变小，因此投标人需要支付的佣金变少，投标人报价会更加积极。

2.2 二级价格密闭式拍卖

(13)

证明：若某个投标者的私人估价为v，而报价为b(x)，成交价为b(Y1)，则其期望收益为

(14)

式中b(·)是单调递增的，所以式(14)在x=v时获得极大值，且∂π/∂x=0，即

(15)

由式(15)可得出

(16)

因此均衡投标策略为

式(13)即为投标者选择b(v)的必要条件。

其次证明充分性。由式(13)～(16)可得

(17)

式(17)中，当t≠v时π(v,b(v))-π(v,b(t))恒大于0，证明b(v)确实是投标者的最佳选择。

比较定理1和定理3的结果可以发现，二级价格密闭式拍卖模型中的均衡投标策略大于一级价格密闭式拍卖模型中的均衡投标策略，这意味着投标者在二级价格拍卖中的报价更加积极。

证明：由式(13)可得

定理4进一步说明，当k变小时佣金率c变大，当佣金率提高时，为了获取非负收益，投标者必须考虑谨慎报价并降低均衡报价。

3 预期收益

3.1 一级价格密闭式拍卖

(18)

同时可以得出拍卖行的预期收益为

(19)

买方的预期收益为

将式(18)、(19)相加可以得到卖方与拍卖行组成的“卖者共同体”的预期收益为

3.2 二级价格密闭式拍卖

拍卖成交时，如果只有一个人估价高于v*，其他人估价均低于v*，则预期收益为

当至少两个人的估价高于v*时，预期收益为

因此卖方总预期收益为

(20)

同时可以求出拍卖行的预期收益为

(21)

买方的预期收益为

将式(20)与(21)相加可以得到卖方与拍卖行组成的“卖者共同体”的预期收益为

此时“卖者共同体”的预期收益与一级价格密闭式拍卖中相同，即收益等价定理仍然成立。

对本文定理1～4的正确性作如下实例验证。假设只有两个投标者(n=2)，私人估价v服从区间[0，1]上的同一均匀分布，分布函数和密度函数分别为F(v)=v，f(v)=1，v∈[0，1]。计算结果如表1所示。

表1 实例计算结果

表1计算结果表明，本文定理1～4均正确。

4 结论

(2)一级价格密闭式拍卖中，投标者的均衡报价关于保留价r及佣金率系数k均递增，而二级价格密闭式拍卖中，投标者的均衡报价关于佣金率系数k递增、关于保留价r递减。

(3)如果考虑“卖者共同体”的预期收益，其在一级价格密闭式拍卖与二级价格密闭式拍卖中相同，因此，收益等价定理依旧成立。