立体几何基础训练A 卷

■河南省沈丘县第一高级中学 李 宽

一、选择题

1.在 R t△ABC中4,BC=3。将△ABC绕BC所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )。

A.60 π B.36 π C.20 π D.16 π

2.三棱柱ABC-A'B'C'的所有棱长都等于2,并且AA'⊥平面ABC,M是侧棱BB'的中点,则直线MC'与A'B所成的角的余弦值是( )。

3.三棱柱ABC-A1B1C1的体积为3,点M在棱AA1上,则四棱锥M-BCC1B1的体积为( )。

4.如图1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,O,P,R,S分别为棱AB,BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A的中点,则六边形MNOPRS在正方体各个面上的投影可能为( )。

图1

图2

5.已知圆锥的底面半径为2,母线为3,则该圆锥的侧面积为( )。

A.6 π B.16 π C.12 π D.4 π

6.平面α的法向量u=(2,-2,2),平面β的法向量v=(1,2,1),则下列说法正确的是( )。

A.α,β平 行 B.α,β垂 直

C.α,β重 合 D.α,β不 垂 直

7.轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为( )。

8.设m,n是不同的直线,α,β是不同的平面,且m,n⊂α,则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的( )。

A.充要条件

B.必要不充分条件

C.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件

9.如图3,在四面体OABC中,M,N分别是OA,OB的中点,则( )。

图3

10.《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”。如图4所示,网格中的每个小正方形的边长为1,已知图为某“堑堵”的三视图,则该“堑堵”的体积为( )。

A.1 B.2 C.6 D.8

图4

图5

11.如图5,在矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE。若M为线段A1C的中点,则在△ADE翻折过程中,有下列结论：①总存在某个位置,使CE⊥平面A1DE;②总有BM∥平面A1DE;③存在某个位置,使DE⊥A1C。其中正确的是( )。

A.①② B.①③

C.②③ D.①②③

12.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点,点M在线段PC上,PM=t PC,PA∥平面MQB,则实数t的值为( )。

二、填空题

13.已知正四棱锥的侧面积为4,底面边长为2,则该正四棱锥的高的长度为____。

14.在三棱锥S-ABC中,SA=BC=,SB=AC=5,SC=AB=,则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为______。

15.如图6,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,∠ACB=90°,CA=CB=CC1,D是CC1的中点,则直线AC1与BD所成角的余弦值为____。

图6

16.三棱锥S-ABC的顶点S在平面ABC内的射影为P,给出下列条件：①SA=SB=SC;②SA,SB,SC两两垂直;③∠ABC=90°,SC⊥AB;④SC⊥AB,SA⊥BC。一定可以判断P为△ABC的垂心的有____。

三、解答题

17.如图7,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC的边长AB=1,侧棱长为P是A1B1的中点,E,F,G分别是AC,BC,PC的中点。

图7

(1)求FG与BB1所成角的大小;

(2)求证：平面EFG∥平面ABB1A1。

18.如图8,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱BC,A1B1,B1C1的中点。

图8

(1)求异面直线EF与DG所成角的余弦值;

(2)设二面角A-BD-G的大小为θ,求|cosθ|的值。

19.如图9,在四棱锥P-ABCD中,∠BAD=30°。

图9

(1)证明：AD⊥PB;

(2)若PD=AD,BC=CD,∠BCD=60°,求二面角A-PB-C的余弦值。

20.如图10,正方形ABCD的边长为4,E,F分别为BA,BC的中点,如图11,将△ADE,△DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点A',连接A'B。

图10

图11

(1)求证：EF⊥平面A'BD;

(2)求A'D与平面BEDF所成角的正弦值。

21.如图12,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD为等腰梯形,BC∥AD,已知AC⊥EC,AB=AF=BC=2,AD=DE=4,四边形ADEF为直角梯形,AF∥DE,∠DAF=90°。

图12

(1)证明：AC⊥平面CDE,平面ABCD⊥平面ADEF;

(2)求三棱锥E-ABF的体积。

22.如图13,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,E,F分别是棱C1C,BC的中点。

图13

(1)求证：B1F⊥平面AEF;

(2)求二面角F-B1E-A的大小;

(3)求点F到平面EAB1的距离。