再谈区间端点赋值的合理性

甘肃省兰州市第五中学 (邮编：730000) 甘肃省兰州新区舟曲中学 (邮编：730087)

函数的零点是函数的重要概念，特别地，由于在导函数的变号零点两侧导函数值的正负不相同，函数的单调性不相同，所以导函数的零点在解决函数的单调性中起着决定性的作用. 但是有些问题，首先需要判断导函数的变号零点是否存在，这就需要借助零点存在性定理构造一个区间，使得区间端点导函数值异号，那么，有些试题答案中的区间端点为何偏偏就是那两个数据呢？取点很巧妙，方法来得很突然[1]，是偶然还是另有玄机，文1给出了区间端点赋值的常见方法，本文通过几道函数与导数综合题的探析，再次给出几种取点赋值的方法.

1 根据已知条件给定的区间，直接得到赋值的区间端点

例1(2018年四川省遂宁市高三第二次模拟考理科)已知函数f(x)=(x-2)ex-a.

(1)若函数f(x)在[0，2]有两个零点，求实数a的取值范围；

解(1)f′(x)=(x-1)ex.

当0

当10，f(x)单调递增，f(x)min=f(1).

令g(x)=(x-2)ex-x+lnx+1，下面求函数g(x)的最小值，

当x00，g′(x)<0，g(x)单调递减.

2 利用切线不等式变化得到的常见不等式，寻求赋值的区间端点

例2(2013年全国卷2第21题)已知函数f(x)=ex-ln(x+m).

(1)设x=0是f(x)的极值点，求m的值，并讨论f(x)的单调性；

(2)当m≤2时，证明f(x)>0.

当-10时，f′(x)>0，f(x)单调递增.

(2)令g(x)=ex-ln(x+2)(x>-2)，

由于f(x)=ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2)(m≤2)，故只需证明g(x)>0即可.

当-2

当x>x0时，g′(x)>0，g(x)单调递增.

评析本题判断g′(x)零点的时候，选择的区间端点为什么右端点赋值为x=0呢？由切线不等式ex≥x+1，

故x≥0，或x≤-3(舍)，

3 执果索因，推导出合理赋值的区间端点

例3(四川德阳市2018届高三第二次诊断数学(理)试题)已知函数f(x)=a+lnx2，且f(x)≤a|x|.

(1)求实数a的值；

解(1)令g(x)=f(x)-a|x|，则g(x)=g(-x).

当00，g(x)单调递增；当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，

故g(x)≤g(1)=0，符合题意，因此a=2.

令h(x)=x-2lnx-4，

故h(x)单调递增，h(8)h(9)<0，∃x0∈(8，9)使得h(x0)=x0-2lnx0-4=0.

当2

当x>x0时，h(x)>0，g′(x)>0，g(x)单调递增.

则f(m)=m-2∈(6，7).

评析h(8)h(9)<0是怎么来的呢？事实上，根据已知条件结合推理过程，在(2，+∞)内，函数g(x)先减后增，所以g(x)min的最小值只能是在极小值点x0处取得，并且g(x)min=g(x0)=x0=m，因此要证明f(m)=m-2=x0-2∈(6，7)，只需证明x0∈(8，9)时，h(8)h(9)<0，从结论上推导得出了零点存在的区间端点赋值的合理性.

4 参数放缩与切线不等式齐发力，得到赋值的区间端点

例4(2018北京市西城区高考一模数学(文)试题)已知函数f(x)=ex(a+lnx)，其中a∈R.

(2)记f(x)的导函数为g(x)，

当a∈(0，ln2)时，证明：g(x)存在极小值点x0，且f(x0)<0.

5 几点感悟

(1)函数区间端点的赋值问题，本质考查导函数的零点存在性定理，纵观这几年高考试题和一些省市的高三诊断试题，落脚点几乎都在判断导函数零点是否存在的特殊情况，即单调函数存在零点时，最多只有一个零点.并且当条件中的区间为开区间时，函数的最值一定在导函数的零点x0处取得；同时，在得到导函数存在零点之后，常借助导函数在x0处的值为0，实现超越式和其他代数式的转化，是化归思想指导解题的有力体现.

(2)含参数的函数的区间端点赋值问题，参数是困惑函数取点的主要矛盾，可根据已知条件中参数的范围，合理放缩，去掉参数，转化为不含参数的函数的区间端点赋值问题.