妙用三个不等式秒杀2018年全国卷压轴题

陕西省汉中市镇巴中学 (邮编：723600)

不等式与函数综合问题是高考压轴题的热点与难点，在全国卷压轴题中更是屡见不鲜.以2018年全国卷I、II、III文理科高考数学六道压轴题为例，其中三道压轴题的压轴第2问都是不等式与函数综合问题，笔者在高三复习备考时，仔细将这三道压轴题的解法探究之后发现，这三道压轴题除官方给出的参考答案解法外，还可以妙用下述三个不等式进行秒杀，供参考.

不等式2对于正实数x，则lnx≤x-1.

证明要证原不等式，即证lnx-x+1≤0.

构造函数f(x)=lnx-x+1,x>0，需证f(x)≤0.

由f′(x)>0，解得01，即f(x)为(1,+∞)内的减函数.

所以f(x)≤f(1)=0，故原不等式得证.

不等式3对于任意实数x，则ex≥x+1.

证明与不等式2的方法类似，不再重述.

上述三个不等式都有着优美的几何意义，即“无字证明”，如下：

图1

图2

如图1，曲边梯形面积大于直角边梯形面积，即

不等式1右边得证；如图2，直角边梯形面积大于曲边梯形面积，同理不等式1左边得证.

图3

图4

如图3，f(x)=lnx在点(1，0)处的切线为y=x-1，即不等式2得证.

如图4，f(x)=ex在点(0,1)处的切线为y=x+1，即不等式3得证.

妙用上述三个不等式可以轻松对2018年全国卷三道压轴题的压轴问实施秒杀，如下：

(1)讨论f(x)的单调性；

例2(2018年全国卷Ⅰ文科压轴题)已知函数f(x)=aex-lnx-1.

(1)设x=2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；

解(1)略；

=ex-1-lnx-1，要证f(x)≥0，

即证ex-1-lnx-1≥0

由不等式2得lnx+1≤x，

即-lnx-1≥-x

①

由不等式3得ex-1≥x

②

①+②得ex-1-lnx-1≥0.

(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程；

(2)证明：当a≥1时，f(x)+e≥0.

解(1)略.

故原不等式得证.

学习数学就要善于解题，数学解题的工具是基本知识与基本技能，正如波利亚所说：“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”，也就是说知识面越广对数学解题的帮助势必越大，而此文所述的三个不等式虽然教材上未曾提及，然而无疑是解决相关高考压轴题的好工具.