立足“基本知识点、基本数学思想方法”减少“懂而不会”的现象

摘 要：本文从一个常见例题展开，探索分析学生“懂而不会”现象背后深层原因。

关键词：提出问题；分析问题；解决问题能力的落脚点

一、 一个常见的解题案例

在含参数的不等式中，经常会碰到下列一类“求参数范围”的问题：若不等式x2+2x+m>0对0≤x≤1的所有实数x恒成立，求m的取值范围。绝大部分教师（包括笔者）都会采用下列颇为“得意”的教学对策：先让学生自己独立思考求解，学生通常会利用判别式△<0，求出m>1这样的结果。这样的结果让教师正中下怀，教师问：“这样的结果正确吗？学生听老师这样讲，习惯地认为自己的解法有误，然后再回头审题，发现条件中x的范围不是R而是0≤x≤1。程度较好的学生结合二次函数的图像转化为根的分布问题求解，解法如下：设f（x）=x2+2x+m，0≤x≤1，利用二次函数图像得出如下等价信息：f（0）>0，解得m>0。教师及时提出问题：“f（0）是函数的什么值？”学生思考后答：“f（0）是函数的最小值”。面对这个结果，教师及时出手了，向学生介绍处理不等式恒成立问题时要转化为求函数的最值问题，如果参数容易分离时，可以先分离参数再求函数的最值，这样操作可以使问题更加快速、简洁地得到解决。在学生兴趣盎然的时候，教师会进一步跟进一组变式题，例如：设a>0，若对于任意的x>0，都有1a-1x≤2x，求a的取值范围。这时，学生会模仿着上一道问题，先分离参数，再转化为函数y=2x+1x在x>0的最小值，从而使问题得到顺利解决。在学生尝到甜头后，教师会进一步把问题引申：设a>0，若存在x∈[1，2]，使不等式1a-1x≤2x成立，求a的取值范围。学生顺着教师提供的解题方法思考，把问题转化為求函数y=2x+1x在x∈[1，2]的最大值。教师由此归纳出不等式恒成立问题及存在性问题的基本解法：

k≥f（x）恒成立k≥f（x）maxk≤f（x）恒成立k≤f（x）max，存在x使k≥f（x）成立k≥f（x）max存在x使k≤f（x）成立k≤f（x）max，许多复杂的恒成立、存在性问题最终都可归结到这一类型。教师怕学生对此方法掌握不牢靠，通过一系列的练习加深巩固。那么，如此教学，学生真的懂了吗？

二、 遭遇“惨败”

在笔者所在学校高三第一轮复习的期末统考中，有这样一道填空题：若关于x的不等式|2x-m|-12x<0在区间[0，1]内恒成立，则实数m的范围 。从阅卷反馈看，学生对此题的解答可以说是“惨不忍睹”。笔者任教的两个班级（共有100人），只有15名学生得到了正确答案。笔者实在想不明白，在评价试卷时，针对此题了解了大部分学生的想法，发现有一部分学生根本没有解题思路，一部分学生有思路，但在不等式等价变形和求函数最值时出现了错误。面对如此糟糕的结果，笔者觉得上述自以为很满意的教学方法，肯定出现了问题，就扪心自问：“我在讲解此类问题的时候有没有落脚于基本知识点”“在问题解决后有没有升华到基本的数学思想方法”，或许，只有解决了这些问题，学生对”不等式恒成立问题和存在性问题“才能有一个清晰的认识，并实现”假懂“到”真懂“的质变。

三、 剖析与反思

虽然在上述案例的教学中，较之将基本方法强行灌输给学生已经有所改进，至少让学生暴露自己的思路，然后再展开教学，但为什么学生初始阶段能较顺畅地运用方法，而时间一长，就又想不起来，不会应用了呢？原因很简单：“方法和技巧掩盖了问题的本质，忽视了基本知识点，掩盖了函数与方程的基本思想方法，浑然不知深层次的”是什么“与”为什么“。事实上，这类问题要引导学生回归到函数的基本性质上，很多学生学习了函数的奇偶性、单调性、零点、最值、周期性对称性这些性质不知道用来干什么，也不知道怎么用，导致了教学中套路和方法一遍一遍讲，但是学生在关键时候总是想不起来。通过上述失败的案例，分析其背后的原因主要以下三个方面：

原因一：函数思想的应用意识不够。

函数思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再利用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关问题，达到化难为易、化繁为简的目的。

例题：已知f（x）=1-x1+x，数列{an}满足a1=12，对于任意n∈N*都满足an+2=f（an）且an>0，若a20=a18，则a2016+a2017的值为 。

解：an+2=1-an1+an（1） 可得：an+1=1+an+21+an+2（2）

（1）式代入（2）式得：an+4=an，所以数列的周期T=4

所以a2016=a20，a2017=a1，

因为a20=a18=1-a181+a18，且an>0，所以a20=a18=2-1

所以a2016+a2017=2-12

分析：教师在高三复习课中，应把数列纳入函数的知识体系中，它应该和一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这些基本初等函数一样具备基本性质，会利用函数的图像和性质来解决问题，譬如：等差数列、等比数列以及一些常用递推式的函数背景。同时还要分析数列的特殊性，在处理问题时要考虑其定义域的特殊性。

无论是在新授课中，还是高三复习课中，教学中教师应循循善诱，渗透函数思想，这才是解决问题的基本思路，才能减少学生“懂而不会”的现象。

原因二：函数概念及其基本性质的定义理解不到位。

函数的基本性质在教材中都是以抽象定义的形式出现的，学生更多的是以直观形象的方式来理解这些概念，学生必须要经历具体到抽象、特殊到一般等思维方法的训练，才形成一个更加理性的认识。概念的学习不可能是一蹴而就的，需要一个循环反复的过程，需要教师从多角度，多场合进行再思考和再创造。

本案例中的恒成立问题落脚点在函数最值的定义，很多学生对于恒成立问题的常用方法应用不到位，关键是没有理解最值的定义。函数最大（小）值定义：一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；（2）存在x0∈I，使f（x0）=M。那么，稱M是函数y=f（x）的最大值。类比：将上述条件f（x）≤M改为f（x）≥M，其它不变，M就是函数y=f（x）的最小值。函数最值定义中“对于定义域中的任意x，不等式f（x）≤M或f（x）≥M恒成立”这不正是不等式恒成立问题的数学符号条件吗？如果教师在分析恒成立问题时，能够稍作停留，引导学生回忆复习一下函数最值的定义，学生自然会想到处理此类问题应该求函数最值，就不会出现遇到此类问题无从下手的局面。在教学中，教师除了引导学生理解函数的概念，还应该带领学生挖掘概念的内涵和外延，以及概念中蕴含的数学思想方法。高中数学中真正掌握各章节中的概念及其定义才是解决问题的基本思路，让学生充分建构自己的概念体系，才能减少“懂而不会”的现象。

原因三：各类基本初等函数求最值的主要方法掌握不到位。

遭遇“惨败”的统考题中，一部分学生就是因为函数最值求错导致失分的。基本的解题思路如下：|2x-m|-12x<02x-12x

总而言之，立足“基本知识点、基本数学思想方法”才是最好的方法。在教学中，教师应善于挖掘和剖析教材，仔细揣摩，穷根究底，深及精髓，力求获得对教材的透彻理解，形成对所教内容的深刻感悟，切实把握教材基本知识点的内涵和外延，深入挖掘教材蕴含的数学思想方法，应成为每位教师的当务之急。只有这样，才能让学生在知识接受的各阶段“真懂”而不是“假懂”。

参考文献：

[1]王光明.数学学习中的“懂而不会”现象[J].中学数学教学参考.

[2]章建跃.我讲了n遍你怎么还不会[J].中小学数学.

作者简介：

王旭利，江苏省南京市，江苏省南京市雨花台区梅山高级中学。