数学建模的教学案例

马建

叶圣陶先生在20世纪80年代提出“教是为了达到不需要教”。在小学数学教学中，运用自我调节理论，引导学生借助数形结合的方法实现自我建模学习，是培养学生可持续发展数学学习能力的有效途径，是践行叶圣陶“教为不教”理念的有益尝试。下面就江苏省南通市如皋外国语学校丁洪老师执教的人教版五年级上册“2、5、3倍数特征的再认识（你知道吗？）”一课为例，谈谈笔者的思考。

课例分析

自我调节学习理论告诉我们，小学生的数学建模学习是学生自我心智模式的主动建构，有赖于学生自我学习动机的支撑。丁洪老师这堂“2、5、3倍数特征”学习后的整理复习课，以砸金蛋游戏引入，游戏情境既有童趣，又极具数学味，很好地调动了学生模型建构的主动欲望。

教师首先出示4只金蛋（每只金蛋里面藏着0～9的数字）。

谈话引入：孩子们，喜欢玩游戏吗？我们先来玩个砸彩蛋的游戏。

砸一砸：判断这个数是不是5的倍数怎么砸？2呢？3呢？为什么？

理一理：2和5的倍数，只看个位;3的倍数，要看各位。

教师小结：看来，判断2和5的倍数只要局部思考，看个位就行了;判断3的倍数则需要整体把握，每个数位上的数字都要看。

富有童趣的“看什么”的问题解决以后，教师问：对比一下这些倍数的特征，你能提出什么新的问题吗？为什么2和5的倍数只要看个位，而3的倍数却要看各位上数的和呢——探究特征背后蕴含的数学奥秘，自我构建关于倍数特征的数学模型成为孩子们的一种自我抉择！

丁洪老师并没有就此打住，而是进一步引导学生进行自我反思：“这个问题你想到了吗？提得好吗？好在哪儿？”连续三个问题，唤起每个孩子的问题意识，奠定的是“我的模型我要建”的心理倾向。

数形结合建模

人教版教材的“你知道吗”是这样设计的：

2485=2480+（ ）

2485=2×1000+4×100+8×10+5

=2×（999+1）+4×（99+1）+8×（9+1）+5

=2×999+4×99+8×9+（ ）+（ ）+（ ）+（ ）

抽象的算式加上简洁的启发式文字，这是一种纯数论意义上的抽象模型，如何破解这一理解难点，让学生真正构建起符合儿童心智水平的“我的数学模型”，丁洪老师做了很好的尝试。一是找准模型构建切入点。他引导学生思考：判断一个数是不是5的倍数，只要“看个位”，不用看的数位有很多，你准备从哪一位研究起，怎么研究呢？思维的起点在十位，而从十位到百位、千位……的自然推论是由此及彼、举一反三数学思维的自然逻辑，也是由扶到放、自我建模这一“教为不教”理念的生动体现。二是从计数器到数位表，拾级而上，数形结合构建数学模型。在直观图的支撑下：几十、几百和几千……都是5的倍数，这是确定的事情;而个位上的数字代表几个一，是不是2和5的倍数并不确定。于是，以“确定区”与“待定区”为逻辑框架的数学模型跃然而出，孩子们在数形结合策略的支持下，顺利实现数学建模。三是在“涂、画、说”中破解3的倍数特征模型构建难点。3的倍数特征判断的数学模型建构是本课的学习难点，丁洪老师先利用动画使学生明确“一个数是3的倍数，就是3个3个的分，没剩余”，然后放手让学生开展合作探究。在学生“涂一涂”“画一画”“说一说”的自主探究基础上，教师出示如上圖右侧的表象图，“各位上数的和（a+b+c+d，也就是所谓‘看各位）”，作为“待定区”构成了3的倍数特征的判断的新模型，巧妙地化解了学生的建构难点。

自我调节打开思路

2、3、5倍数特征模型的“这一个”如何演绎为更多数倍数特征模型的“那一片”，让“这一个”数学模型生长为支撑儿童数学探索的、具有“扩容空间”的“那一片”思维模式，丁洪老师的设计为我们打开了思路。

砸金蛋的游戏仍在继续：“同学们，你们还想砸出谁的倍数呢？现在只需要砸哪几个金蛋呢？”一石激起千层浪：“我想砸出4的倍数”“我想砸出……”“好，同学们分小组讨论一下，怎样砸最少的金蛋，迅速判断出这个数是不是你想的那个数的倍数？”同学们的演绎是精彩的：4的倍数中要砸最右边的两个金蛋，因为整百数是“确定区”，而十位和个位组成的两位数是“待定区”;9的倍数和3的倍数一样，每个数位上的数9个9个地分，剩余的数就是那个数位上的数，所以要砸开所有的金蛋，看各位上的数的和是否是9的倍数;6的倍数首先是看是否是偶数，然后还要看是否是3的倍数，所以也要砸开所有的金蛋……

第二次“砸金蛋”的过程，正是数学模型的验证调节过程。显然，“去除确定区、关注待定区”的倍数判断数学模型，与直接试除方法相比，是更为便捷有效的思维方式。“确定区”与“待定区”的厘定方法是千差万别的，但思维模式却是一致的，这也正是数学建模的思维价值所在。

在小学生数学建模学习中，如何立足儿童年龄特点，巧用数形结合等策略，引导儿童自我构建充满生机的数学模型，数学学习能力将会得到进一步提升。

（作者单位：江苏省南通市通州区石港小学）