高等数学习题的多种解法及其价值探析——以一道三重积分的几种解法为例

丁艳风，时文俊

（郑州升达经贸管理学院 基础部，河南郑州 451191）

高等数学是高等院校理工类学生的一门必修的公共基础课,在后续课程的学习中起着非常重要的作用，直接影响着对后续专业课程的学习。哈尔莫斯说：“数学的创作绝不是单靠推论可以得到的，首先通常是一些模糊的猜测，揣摩着可能的推广，接着下了不十分有把握的结论，然后整理想法，直到看出事实的端倪。往往还要费好大的劲儿，才能将一切付诸逻辑式的证明。这个过程并不是一蹴而就的，要经过许多失败、挫折，一再的猜测、揣摩。在试探中白花掉几个月的时间是常有的”。这些话运用到学习高等数学中也是适用的。因此,要学好高等数学,必须要多动脑思考，大胆尝试，多做习题。

1 问题的描述

在高等数学的教学过程中发现，学生在刚接触三重积分的时候，对应用哪种方法解决往往无所适从，甚至将所学的几种方法混淆，导致解题错误。该文针对这种情况，利用一道计算题，通过对其使用多种方法计算，进行对比，使学生能够更好地理解所学知识点，实践证明，教学效果令人满意。三重积分的计算首先是根据积分区域画出的图形及被积函数的特点，选择恰当的坐标系，主要是在空间直角坐标系、柱面坐标系和球面坐标系下，然后根据选定坐标系和积分区域的特点将三重积分化为累次积分，即转化为计算三次定积分进而完成三重积分的计算。因此，三重积分计算的关键是选择恰当的坐标系及在选定坐标系下确定累次积分的积分次序和积分限。该文以一道练习题的求解为例,通过对同一道题的若干种求解方法的分析和对比,使学生对三重积分的各种计算方法有一个全面的认识,以熟练掌握三重积分的各种计算方法。这道练习题是:计算三重积分其中Ω是由曲面z=2-x2-y2及z=

2 解题的方法

三重积分的计算方法主要有： 在直角坐标系下：“先一后二”（投影）法、“先二后一”（截面）法、在柱坐标系下计算、在球坐标系下计算......面对这么多解法，我们选哪一种方法合适呢？ 由该题的被积函数为1，积分区域是规则的几何图形，很容易让人想到能否利用几何意义求呢？有此想法那么就付出行动，把积分区域Ω画出来，根据Ω 的图形第一种方法就产生了。

方法1： 三重积分的几何意义法： 当被积函数为1时，三重积分的值等于积分区域Ω 的体积。该题的关键一步是画出积分区域Ω 的草图，根据已知条件，求出两个曲面的交线为即在z=1 的平面上以（0，0）为中心，以1为半径的圆。这样就易做出Ω 的图形如图1所示。

图1 三重积分的几何意义

由图1 易看到Ω 由两部分组成，D1是以x2+y2=1为底，以旋转抛物面z=2-x2-y2为侧面的立体，此立体的体积可以利用二重积分的几何意义：看成一个以x2+y2=1为底，以z=2-x2-y2为顶的曲顶柱体的体积再减去下方的一个圆柱体体积即可的到；D2是以x2+y2=1为底的圆锥，利用求体积公式，很容易D2的体积就求出来了。从而所求三重积分为：

此法的优点是避免了计算三重积分，对于三重积分没有学好的学生不失为一个好方法。这说明遇到问题，多动脑还是能找到简单的解决问题的方法的。

此法的优点是不需要把积分区域分成两部分来做，只需看成一个整体就能求出。接下来考虑“先二后一”法。

方法2：“先二后一”法（截面法）方法3：“先一后二”法（投影法）

三重积分常用的方法是“先一后二”或者“先二后一”，我们先从“先一后二”开始，看看该题是如何解得。

首先根据已知题意先把积分区域的草图画出来，并求出各曲面的交线；其次将积分区域Ω 投影到坐标面xoy 上。得投影区域D是以（0，0）为中心，以1为半径的圆域：Dxy={（x，y）|x2+y2≤1}，第三在投影区域Dxy上任取一点（x，y），过该点做平行于z 轴的射线穿过积分区域Ω，从而确定进入曲面所在的方程为z 的下限，离开的曲面所在的方程为z 的上限；最后根据Dxy的图形为圆域，选用极坐标：先积r 后积θ 化为二次积分进行计算。则所求三重积分。

“先二后一”法又称截面法，首先根据图形的特点确定要投影的坐标轴，对于该题的具体做法如下。

首先根据图形的特点将积分区域Ω 投影到z 轴上，则在z 轴上的投影区间为[0，2]。因为Ω 由两部分组成，每一部分的截面不一样，不能直接用截面法，需分两部分：1)过[0，1]上任意点z 作垂直于z 轴的平面,则该平面与积分区域的截面在xoy 平面上的投影区域为圆域：Dz1={（x，y）|x2+y2≤z2，0≤z≤1}；2)：过[1，2]上任意点z 作垂直于z 轴的平面,则该平面与积分区域的截面在xoy 平面上的投影区域为圆域：Dz2={（x，y）|x2+y2≤2-z，1≤z≤2}。

则由积分区域的可加性及截面法可得所求的积分为：

“先二后一”法的适用范围:（1）被积函数只含一个变量；（2）截面面积易求。

此法优点是：计算简单，但是缺点是：需把积分区域分成两部来做，若考虑不到就会出错。

方法4：利用积分区域的对称性求解。

因Ω 既关于yoz 平面又关于xoz 平面对称，则积分区域可以分为相等的四部分，分别位于第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限。从而计算在Ω 上的三重积分就可以转化为计算第Ⅰ卦限上的三重积分，再乘以4 即可。利用对称性此三重积分化为（其中为在第一卦限的部分）

三重积分除了在直角坐标系下计算外，还有柱坐标下的计算，接下来我们考虑这种情况。

方法5：在柱坐标系中求解。

在柱坐标系中，作柱坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，z=z，则积分区域Ω 变为Ω={（r，θ，z）|0≤θ≤2π，0≤r≤1，r≤z≤2-r2}，从而利用柱坐标变换得三重积分为：

柱面坐标法使用的范围：（1）积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;（2）被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离。柱坐标系下的三重积分和直角坐标系下的极坐标计算三重积分区别不是很大，其实质是一样的。

上述解法都是在不同坐标系下展开的。另一方面，因三重积分的积分区域为空间闭区域，则它与边界上的曲面积分也应该是有联系的，而高斯公式就是二者之间联系的桥梁。通常我们是利用三重积分计算曲面积分，那么反过来能否利用曲面积分来计算三重积分呢？

由高斯公式：

要使二者相等，我们选取P=0，Q=0，R=z 即可，从而有：其中∑=∑1∪∑2，图1 的D1，D2的外侧分别记为：∑1，∑2,从而：

此方法计算并不麻烦，就是计算时要注意曲面的方向，平时不易想到。还有，用高斯公式时，右边曲面积分中的被积函数不唯一，如：或等，此法虽没有几何意义、先一后二或先二后一简单，但能发散思维，能更好理解三重积分和高斯公式。

3 结语

该文给出了一道三重积分计算题的六种解答方法，通过这道习题的练习,使学生在不同方法的对比中熟练掌握计算三重积分的方法。从而慢慢体会到:计算三重积分时，首先应根据积分区域和被积函数的特点选择恰当的坐标系，其次根据积分区域的特点，确定选用什么方法。每做一道题之前，应该多问为什么。如此题还有没有其他更简单的解法，需要用到哪些知识点，这些知识点间的联系是什么？ 此题能否根据几何意义来解决呢？ ……在数学的学习中只有不断地思考、体会、总结、学习，才能取得更大进步。