积分概念的横向教学研究

张学润

（吉林大学数学学院，吉林长春 130062）

今天，数学知识已充分渗透一切学科，它的研究对象也早已从现实世界的空间形式与数量关系扩展为现实世界的任何形式和关系，甚至还研究在逻辑上可能的形式与关系。我们作为数学教育工作者，探求的不仅是数学知识理论本身，更重要的是理论之外的东西，是探求理论与课堂教学的结合模式，即如何在传授知识点本身的同时，在课堂教学中教会学生探求事物间的关系，培养数学思维，提升认识世界的能力，这是数学教育工作者的首要任务。

那么，究竟什么是数学思维呢？思维是人脑对客观现实的概括和间接反映，是人脑的基本活动形式，是人的一种高级的心理活动形式。数学思维就是用数学思考问题和解决问题的思维活动形式。数学思维能力主要表现在4个方面：会观察、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比等方法进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；会运用数学概念、思想和方法辨明各种矛盾和关系，形成良好的思维品质。

1 积分概念横向教学理论基础

1.1 教学现状

高等数学是大学数学的三门基础必修课之一，积分学是其重要组成部分。一元函数的定积分、二元函数的二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分，对坐标的曲线积分，及对面积的曲面积分、对坐标的曲面积分，构成其完备的积分知识体系。内容安排设计都是先一元函数的定积分，再多元函数重积分，最后线积分，面积分，各占一章，独立教学。且每章都遵循引例、概念、计算、应用的结构顺序，概念清晰，内容全面，逻辑严谨，意义明显。各种积分的传统教学方法都是分割单独教学，都是从引例入手，详加分析，强化分割、代替、做和和取极限四步骤，引出特定结构和的极限的积分概念本质，再定义各种积分。

虽然教材内容设置、章节安排符合理解概念，探求本质，发展应用的认识规律。但是严格按照积分类别分割章节，单独教学，概念讲解单一，重复，学生学起来按部就班，了无“新”意，也不利于学生建立知识点间的联系，不能更好地建立起积分的知识体系，教学过程也谈不上培养学生的数学思维能力。

1.2 理论基础

定积分、重积分、第一型曲线积分和第一型曲面积分的概念本质是一致的。考虑在完全学习过定积分之后，学生已经掌握定积分就是一元函数f（x）在区间[a，b]经过分割、代替、做和和取极限四步骤得到的特定结构和的极限，即讲二重积分概念时，首先引导学生将定积分与二重积分进行类比，包括它们的定义，几何意义、性质等。通过类比，发现它的定义也是从实际问题出发，求解由平面有界闭区域D，非负连续函数f（x，y）（x，y）∈D，及以D 的边界曲线为准线，母线平行于Z 轴的柱面围成的曲顶柱体的体积。计算过程中也有柱体各点处的高可能不同的矛盾，运用已知表未知，参照定积分概念的引例曲边梯形面积的处理方法：化整为零，在局部以不变代变，再积零为整。

2 积分概念横向教学的实践

2.1 运用类比教学法引导二重积分概念

2.1.1 化整为零求解曲边梯形面积首先是将其分割成n个小曲边梯形，是通过将一元函数f（x）的定义域[a，b]进行划分得到的。所以在求解取顶柱体体积，化整为零时，考虑将二元函数函数f （x，y）（x，y）∈D 的定义域D 进行分割。继续类比具体如何分割，曲边梯形是通过在区间（a，b）任意插入n-1个分点，将区间（a，b）分成n个小区间[x1，xi+1]，i=1，···，n-1 实现的。所以曲顶柱体应该考虑在平面区域D 内任意插入线段进行分割，为讨论方便和计算简单，引人一组平行于轴，轴的直线网格，将平面闭区域D分割成n个小区域Δσi，i=1，···，n。

2.1.2 以直代曲

计算每个小区间上曲边梯形面积时，在[x1，xi+1]，i=1，···，n-1 内任取一点，以其函数值f（ξi）代替此小曲边梯形的高，求得其面积为f（ξi）Δxi，进而做和，得到整个曲边梯形面积的近似值类比曲顶柱体，不难发现，可以在每个小区域Δσi，i=1，···，n 内任取一点（ξi，ηi），以其函数值f（ξi'ηi）代替此小曲顶柱体的高，求得其体积为f（ξi，ηi）Δσi，从而得到整个曲顶柱体体积的近似值

2.1.3 积零为整

为把近似值转换为真实值，实现量变到质变，曲边梯形对面积和取极限，并且为保证转换成立，分割无限加细，这里不是对分割个数n 取趋向无穷时的极限，而是对n个小区间长度Δxi，i=1，···，n 的最大值λ 取趋向于零时的极限类比曲顶柱体，取极限时，应对n个小区域长度Δσi，i=1，···，n 的最大值λ 进行趋于零的运算

这样，通过类比，发现曲顶柱体也是按分割、代替、做和和取极限四步骤引出的，也可以表示为一种特定结构和的极限。相应于定积分Δxi，这种特定结构和的极限称为二重积分，记为

2.2 从数量关系上横向扩展积分概念

通过比较曲边梯形与曲顶柱体，参照定积分定义，将二重积分的概念引入，并且发现二重积分的实质也是一种特定结构和的极限，即ηi）Δσi。由此不难发现二重积分是定积分从一元函数到二元函数的自然推广，也可以看作从直线到平面，即一维空间到二维空间的扩展。此时引导学生继续做横向扩展，并且不在从有实际意义的引例入手，考虑将积分函数直接从二元函数推广至三元函数，同时将积分范围从二维空间的平面域扩展至三维空间的有界闭区域，相应的也得到一种特定结构和的极限，即并将之称为三重积分。此时再引导学生考虑三重积分的应用，并引导学生考虑是否有n 重积分，并尝试定义。这样，学生的学习积极性就会被充分调动起来，主动思考并积极讨论定义扩展过程中可能出现的问题。继续将积分概念做横向推广，冲击学生的思维，引导学生考虑平面曲线段，空间曲线段以及空间曲面上特定结构和的极限：

得到平面线积分，空间曲线积分及曲面积分的概念。最后通过类比，引导学生发现这几种积分的定义都是按分割、代替、做和和取极限四步骤引出的，可以表示为一种特定结构和的极限，可以统一表示为当积分Ω 域变化同时取不同被积函数f（P）时，代表不同的积分，积分学体系自然形成，教学目标完美实现。

3 结语

从被积函数、积分区域入手，运用观察、比较、分析、归纳、类比的数学方法，将其他积分概念统一做横向介绍，合乎逻辑的，准确的阐述其他积分概念，不仅达到向学生传授知识的教学目的，更重要的是向其展示了数学思维的过程，使其思维的广度、深度和创造性方面的能力得到锻炼。