一道圆锥曲线试题探究非线性目标函数

邱鹏

[摘           要]  線性规划是高考的一个重要考点.学生往往受“线性”二字的影响，遇到非线性目标函数就不知所措.通过一道试题解法引出非线性目标函数.总结出非线性目标函数的类型，归纳出解题方法.在高考新形势下，对线性目标函数的教学引起反思.

[关    键   词]  非线性;目标函数;方法

[中图分类号]  G634.6               [文献标志码]  A                [文章编号]  2096-0603（2019）35-0232-02

一、背景解读

题目 椭圆M：+=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且·的最大值的取值范围是[c2，3c2]，其中c=，则椭圆M的离心率e的取值范围是（B）

A.[，]                              B.[，]

C.（，1）                              D.[，1）

分析：椭圆M：+=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，所有椭圆的焦点坐标可以假设为F1（-c，0），F2（c，0）.则·=x2+y2-c2，因此可以通过非线性目标函数解题，得出a、b、c的不等关系，进一步解得离心率e=的范围.

解：由题意椭圆M：+=1（a>b>0）为焦点在x轴的椭圆，又椭圆的焦点为F1、F2，P为椭圆M上任一点.

设P（x，y），F1（-c，0），F2（c，0），所以=（-c-x，-y），=（c-x，-y），

·=x2+y2-c2.可将·=x2+y2-c2看作一个非线性目标函数.

因为x2+y2=（x-0）2+（y-0）2可看作P（x，y）到原点（0，0）的距离的平方，P（x，y）为椭圆上任意一点，由椭圆的性质可知：椭圆长轴上的端点到原点的距离为最大值.

所以（x2+y2）max=a2，又因为a2-c2=b2.所以·=x2+y2-c2=a2-c2=b2，由题意c2≤b2=a2-c2≤3c2，e=.解得≤e≤.

故答案选B.

二、解后反思

此题是一道圆锥曲线为背景，考察椭圆性质和非线性目标函数的题目.线性规划是高考必考点，尤其是对目标函数的解读至关重要.在约束条件下，目标函数常见代数式的几何意义往往会有三种.

第一种：z=ax+by（ab≠0）此类型目标函数为线性目标函数;解法：将函数z=ax+by转化为直线的斜截式：y=-x+，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值.最优解在顶点或边界取得，在此笔者不作为研究重点.

第二种：z=表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率.此类型目标函数为非线性目标函数

第三种：z=表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离;此类型目标函数为非线性目标函数

高考考察非目标函数，往往会结合考察其他知识板块的交汇.要求学生在掌握知识的基础上，会识别目标函数特别是非线性目标函数类型.根据目标函数的类型解题.

三、试题链接

例1.已知平面向量=（1，），-=1，则的取值范围（  ）

A.[0，1]  B.[1，3]  C.[2，4]  D.[3，4]

分析：根据题目可以设=（x，y），-==1，得出（x-1）2+（y-）2=1.则=（x，y）表示圆上的点;=为目标函数表示点（x，y）与原点（0，0）之间的距离，可与数形结合得出答.

解：设=（x，y），则-==，又因为-=1.所以（x-1）2+（y-）2=1.则=（x，y）表示圆心（1，），半径r=1的圆上的点;

又因为=为目标函数，表示点（x，y）与原点（0，0）之间的距离.根据圆的性质：max=+r=3;max=-r=1.

所以∈[1，3]

故答案选B.

例2.（2015新课标1理15）若x、y满足约束条件x-1≥0x-y≤0x+y-4≤0.则的最大值为   .

分析：根据不等式组在平面直角坐标系中做出可行域.非线性目标函数表示（x，y）与点（0，0）连线的斜率.数形结合可以解出此题.

解：根据不等式组在平面直角坐标系中做出如图可行域（阴影部分ABC）.

非线性目标函数表示可行域内的点（x，y）与点（0，0）连线的斜率.

由图像可知直线OA的斜率最大.

又因为x=1x+y-4=0，得到x=1y=3，即A（1，3）.

所以KOA==3.

故答案填3.

四、教学启示

线性规划往往会与其他知识结合，形成综合题，难度会变得很大.学生学习的时候，往往受“线性”二字限制，所以我们在教学和学生的复习时需要挣脱“线性”二字，题目有可能是非线性目标函数题.然后识别目标函数的类型，数形结合解题.

参考文献：

[1]陈星春.线性规划知识解决高考数学有关综合问题寻踪[J].中学数学杂志，2008（1）：56-59.

[2]韩美丽.突破高考数学之线性规划[J].亚太教育，2019（1）：81-83.

[3]赵静.两道“线性规划”高考题引发的思考[J].江苏第二师范学院学报，2014，30（2）：76-79.

[4]丁利民，李袆.2011年高考数学线性规划试题评析和思考[J].数学学习与研究，2012（5）：75-76.

◎编辑 曾彦慧