矩阵初等变换的若干应用探讨

王焕男

摘 要：在解决线性代数的有关问题时，矩阵的初等变换具有非常重要的作用。本文较详细地论述了矩阵的初等变换在线性代数相关问题中的应用，并对该知识点在课堂教学中的应用进行了一些探讨。

关键词：初等变换;线性方程组;应用;探讨

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.02.198

线性代数作为高等院校理工类和经济管理类学科的一门必修公共基础课程，对学生学习方式和思维方式的锻炼起着重要作用;作为有关课程的工具，线性代数扮演着极为重要的角色。在处理线性代数的有关问题时，矩阵的初等变换具有相当重要的作用。为此，我们下面探讨矩阵初等变换在线性代数中的几点应用。

1 初等變换、初等方阵

定义1：我们将下面三类变换称为矩阵的初等行变换（初等列变换）：

（1）对换矩阵某两行（两列）位置，简称对换;

（2）用一个不等于零的常数乘以矩阵的某一行（某一列）的所有元素，简称倍乘;

（3）把矩阵某一行（某一列）的所有元素的倍数加到另一行（另一列）对应元素上去，简称倍加。

我们把上面这三类变换叫做矩阵的初等行变换（初等列变换）。矩阵的初等变换包括初等行变换和初等列变换两种。

定义2：初等方阵即对单位矩阵实施一次初等变换后得到的矩阵。

对应于三类初等变换，初等方阵类似地也有三种。

引理1：设A是矩阵，我们对矩阵A进行一次初等行变换等价于将一个阶初等方阵左乘以矩阵A;对矩阵A进行一次初等列变换等价于将一个阶初等方阵右乘以矩阵A。

2 初等变换在线性代数中的应用

2.1 利用矩阵初等变换来求矩阵的秩

定义 3：在阶矩阵A中，任取行列（），位于这些行列相交处的元素按原位置排列构成的阶行列式，叫做矩阵A的阶子式。

定义4：矩阵A中非零子式的最高阶数，称其为矩阵A的。规定零矩阵的秩为0。

定义 5：我们把满足以下两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵：

（1）如果有零行，那么零行处于矩阵的下方;

（2）对于非零行，它的第一个非零元素的下方的元素都是零。

阶梯形矩阵的秩为其非零行的行数r。利用矩阵初等行变换可以化矩阵为阶梯形矩阵。

用定义求矩阵的秩，需要计算许多个行列式的值，当行列式元素较为复杂或阶数较高时，则计算量庞大，因此引入了初等变换的方法。下面定理1建立了矩阵初等变换与矩阵的秩之间的关系。

定理1：初等变换并不会改变一个矩阵的秩。

定理1给出了求矩阵秩的方法：利用初等变换将矩阵A化为阶梯形矩阵，那么，阶梯形矩阵中所含有的非零行的行数就是矩阵A的秩。

2.2 利用初等变换求矩阵的逆

定义6：对于阶方阵A，若存在一个阶方阵B，使，则称矩阵A为可逆矩阵，矩阵B为A的逆矩阵。

定理2：。

定理2：给出了用初等变换求逆矩阵的方法。上面式子表明：当经过一系列初等行（列）变换化为单位矩阵E时，利用相同的初等行（列）变换就会把单位矩阵E变成为A的逆矩阵等行变换求逆矩阵的方法，同样还可以用来求矩阵.当对矩阵（B）进行初等行变换时，将矩阵A变为单位矩阵E时，矩阵B就会相应地变为矩阵。

2.3 利用初等变换求解线性方程组

定义7：称为非齐次线性方程组的系数矩阵，称为未知量，b称为常数项矩阵。矩阵（A  b）叫做非齐次线性方程组增广矩阵。而对于齐次线性方程组，常数项矩阵是零矩阵。

定义8：下列三类变换称为方程组的初等变换：

（1）交换方程组中两个方程的位置;

（2）用一个不等于零的常数乘以方程组的某个方程;

（3）数乘方程组的某个方程后再加到另一个方程上去。

对方程组实施这三类变换，得到的新方程组与原方程组是同解的。事实上，对方程组实施这三种变换相当于对其对应的增广矩阵实施相应的三种初等行变换（对换、倍乘、倍加）。

我们用初等行变换把增广矩阵（A b）化简，通过初等行变换总能把增广矩阵（A b）化为阶梯形矩阵，再求出阶梯形矩阵所对应的方程组的解，此解即为原方程组的解，这种方法称为高斯消元法。

用高斯消元法解线性方程组，就是将它的增广矩阵经过一系列初等行变换变为阶梯形矩阵，阶梯形矩阵所对应的方程组与原来的方程组是同解方程组，再用回代方法求解。其实，回代过程仍然可以用矩阵表示，该过程实际上就是对阶梯形矩阵做进一步的化简过程，使其最终化成为一种特殊的矩阵，我们从这种矩阵中可以直接解方程组。称这种特殊的矩阵为行最简形矩阵，定义如下：

定义9：满足下面两个条件的阶梯形矩阵称其为行最简形矩阵：

（1）各个非零行的第一个非零元（即非零行的第一个不为零的元素）都是1;

（2）所有首非零元所在列的其余元素元素都是0。

解线性方程组的高斯消元法的一般步骤如下：

（1）将线性非齐次线性方程组的增广矩阵（A  b）通过一系列初等行变换化为行最简形矩阵;行最简形矩阵首非零元所在列对应的未知量共有r个，即，其余未知量称为自由未知量，共有n-r个（n是未知量个数）。

（2）求行最简形矩阵所对应的线性方程组的解，把此方程组含有自由未知量的项移至方方程右端，其余未知量均用自由未知量表示，即求出方程组的通解。

（3）写出方程组通解的矩阵形式。

但通常求解非齐次线性方程组的时候，往往只将增广矩阵化到阶梯形即可。由上可以得出非齐次线性方程组解的判定定理：

定理3：元非齐次线性方程组充要条件。

定理4：元非齐次线性方程组，

（1）无解的充要条件是：;

（2）有唯一解的充要条件是：;

（3）有无穷多解的充要条件是：。

对于齐次线性方程组，始终有成立，故有如下判定定理：

定理5：对n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是仅有零解的充要条件是。

2.4 利用初等变换判断向量组的线性相关性、求它的极大无关组和秩

定义10：給定向量组A：，若存在不全为零的数，使成立，则称向量组A线性相关，否则线性无关。

从上述定义可知：

（1）向量组中只含有一个向量a时，的充分必要条件是;因此，单个零向量是线性相关的。进一步还可以推出，如果一个向量组中包含零向量，那么这个向量组就是线性相关的;

（2）两个向量线性相关的充要条件是这两个向量的对应分量成比例。只含两个向量的向量组线性相关的几何意义是这两个向量共线;

（3）含有三个向量的向量组线性相关的几何意义就是这三个向量共面。

定理6：向量组线性相关的充分必要条件是;向量组线性无关的充要条件是。

定义11：设是由n个向量构成的向量组，从中选出（）个向量，如果满足：

（1）线性无关;

（2）任取，总有线性相关（中任何向量均可由线性表示或中其余向量均可由线性表示），则称向量组为向量组的一个极大线性无关向量组，简称为极大无关组。向量组的秩即向量组的极大无关组中所含有的向量个数。

容易验证：若向量组线性无关，则的极大无关组是自身，若向量组中只含有一个零向量，则该向量组无极大无关组，并且我们规定这个向量组的秩为零。

一般情况，一个向量组的极大无关组可能并不唯一，但其包含的向量的个数是相等的;向量组的极大无关组彼此等价，且与向量组本身等价;等价向量组具有相同的秩。

以向量组中各向量为列构成矩阵后，将这个矩阵作初等行变换，把它变为阶梯形矩阵，我们就很容易写出这个向量组的秩和它的极大无关组。同理，也可以由向量组中各向量为行构成矩阵，将这个矩阵作初等列变换，把它变为阶梯形矩阵，我们同样很容易写出这个向量组的秩和它的极大无关组。

定理7：矩阵的秩等于它对应的列向量组的秩，也等于它对应的行向量组的秩相等。

定理8：我们把n维向量组记作矩阵，则下面结论是等价的：

（1）向量组，线性相关（或者线性无关）;

（2）方程组有非零解（或者只有零解）;

（3）（或者;

（4）A的任意s阶子式为零（或者存在s阶子式不为零）;

（5）当时，有（或者）。

定理6表明利用矩阵的初等变换可以很容易判断一个向量b能否被向量组线性表示以及一个向量组是否线性相关。

3 结束语

在线性方程组的求解过程中，因为初等行变换才是线性方程组的同解变换，所以我们只能对方程组的的增广矩阵进行初等行变换;如果我们对方程组的的增广矩阵进行了初等列变换，那么就会改变原来线性方程组的解。在讨论向量组的线性相关性时，将向量组线性相关性的问题转为向量组的秩与向量组中所含向量的个数之间的关系。求一个向量被向量组线性表示的问题，其实就是判断方程组是否有解及求出方程组的具体解的问题。我们可以把判断一个向量组是否线性相关的问题，转化为判断齐次线性方程组是否有非零解的问题;求某个向量被向量组线性表示的问题，则可转化为求非齐次线性方程组解的问题。

由此可见，矩阵的初等变换具有如此重要的应用。因此，初等变换的教学就显得尤为重要。

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