积累数学教学经验的实践途径

张 昆

（淮北师范大学数学科学学院，安徽 淮北 235000）

我们可以将数学教学经验界定为，数学教师通过亲身数学教学活动，经历或体验关于某个知识点的教学预设、预设的实施，并依据学生发生关于这个知识点认识时萌生的心理活动需要，在实施过程中进行相关的调整，所留存于教师心智中的教学观念、教学技能、教学能力等要素称为数学教学经验。简单地说，数学教学经验就是通过教学活动过程在大脑中留下的经历或体验，因此，数学教学经验就具有一种从无到有、从少到多的不断积累的过程。

一、数学教学经验的具体维度与数学教师的积累途径

在数学教学实践中，经常会出现这样的问题，为什么那些知名的数学教育家会指导普通教师如何上好课，而自己却不能将一个具体的数学知识点讲得风生水起、生机勃勃呢？为什么普通一线数学教师有时可以将一个具体数学知识点讲得活泼有致、合适得体呢？这是因为，数学教育家没有讲授某个具体数学知识点的数学教学经验；相反，普通一线数学教师却具有处理好某些具体的数学知识点的教学经验。弗赖登塔尔说：“大多数教育家将他们的哲学系统地阐述为对于具体教师的各种要求。他们习惯于告诉其他人应该如何教。其中的有些教育家可能也演示一下，应该怎么做，但却是浅尝辄止。这就形成了数学教学活动中的教条主义。”[1]这是对于数学教育家与普通数学教师之间的现实差别的准确概括，也说明了数学教学经验在数学教师教学专业成长中的重要作用。

笔者从长期的数学教学活动中认识到，关于数学教学经验可以具体体现于如下几个关键性维度：其一，关于教材分析的经验，教材分析最为重要，因为教学目标、教学起点、教学流程等的设计，教学媒体的选择，无不源于教学分析；其二，教学重难点的把握与在教学中的处理；其三，感觉到学生在某个具体知识环节认识时会出现某些具体的疑难；其四，知道使用什么问题与什么样的方式提问具有不同个性信息的学生；其五，选择合适恰当的例子来体现具体的教学内容；其六，选择哪些例题与习题巩固具体的教学内容；其七，选择将某个知识点在教学中的某些关键性环节写到黑板上；其八，针对某种数学命题的特点评价学生时能够估计到某个学生可以考出多少分，整个班级集体考试的平均分；等等。

数学教学经验是教师对于数学教学的体验与经验以后，留存于心智之中的某些要素，这些要素通过经验的自组织活动，构成了数学教学经验系统。[2]由于有的体验可以进行描述从而能够传达于他人；有的体验属于个体默会性的而不能传达于他人。因此决定了数学教师积累数学教学经验就需要从以下几个方面入手：其一，关于可传达性的经验，需要数学教师阅读优秀教师的作品，从字里行间直接地吸收数学教学经验；其二，对于默会的知识，数学教师应该对于任何一个所要施教的知识点，都要认真地思考；其三，尽可能地去现场观摩相关优秀教师的数学课，参加数学教研活动；其四，应该对自己与他人的教学行为进行反思，从中逐渐地领悟与体验，形成自己个性化的数学教学经验。

一般地说，通过上述分析，得到了主要的八个维度的数学教学经验，又可以将八个维度的数学教学经验概括为三个重要方面，即程序性数学教学经验、策略性数学教学经验与迁移性数学教学经验，这三种不同类型的数学教学经验在数学教师的专业成长中起着非常重要的作用。

二、积累程序性数学教学经验的途径

数学教师在教学准备或课堂教学活动中，常常需要按照某种程序组织材料，这些程序性的知识往往主要是从数学教学经验中获致的。例如在进行一个数学知识点的预设时，一般程序是：其一，教材分析，找出这个具体知识点在整个这类知识结构链条中所处的环节节点，这个知识点自身所蕴含的特点等；其二，学情分析，针对教材分析所得到的结论，揣摩学生发生具有这种知识特点认识时的心理活动环节；其三，基于教材分析与学情分析的结论，预设关于这个知识点的教学目标；其四，基于前三项分析，选择教学手段，设计教学流程。这是关于每一个数学知识点教学都需要且不可逾越的程序性工作。

又如，在教学预设进入课堂教学流程时，又可以依据一种一般性程序：其一，复习旧知，主要依据最近发展区策略，这种策略的使用重在讲究旧知与新知之间的关系，旧知构成了学生在这节课中学习新知的这个“最近发展区”的“根据地”（详见下文课例的说明）；其二，引入新知，最好的手段是提出一个“初始问题”，由这个“初始问题”与旧知的“根据地”相结合，从而产生新知；其三，巩固新知，使用例题与习题指导学生应用新知，促使新知在学生的认识结构中得以巩固；其四，课堂小结，帮助学生梳理新知与旧知的关系，从而将新知纳入学生的认知结构；其五，布置课外作业。这个过程的要素是次第发生的，构成一个完整的教学活动流程。

再如，如果我们将数学知识分为三类：其一，概念性知识；其二，原理性知识；其三，数学问题解决性知识。那么，关于原理性知识的教学活动又可以分为三个关键性的环节：其一，原理性知识的命题的发现环节，在这个环节中又可以分为几个要素，首先是提出一个合适的“初始问题”，其次是引入新的数学观念探究“初始问题”，形成一个猜想性的命题；其二，关于这个猜想性命题的证明环节，从而得到这个原理性知识；其三，应用这个原理性知识解决问题的环节。必须经由这三个环节过程，才能最大限度地发挥数学原理性知识的教学价值。

上述所分析、传达的只是笔者经由长期教学经验所积累的程序性知识的几个例子，在教师默会性的教学经验中，还存在着许多关于数学教学的程序性知识。那么，如何积累这些程序的数学教学经验呢？关于积累这些数学教学的程序性知识，当然它需要经由数学教师的学习加以掌握，但更重要的是依靠数学教学经验的积累而得到。因此，这是一线数学教师为了发展自己的教学技艺，不断地从实践中摸索、设想与对猜想的检验并着重加以反思，从而形成并不断地优化这些程序性的教学经验，进而通过教学准备与教学活动的流程，最大限度地实现数学知识所内蕴的教学价值，实现数学知识的教学目标，如此，利用教师积累起来的程序性教学经验为数学课程资源促进学生的发展创造了条件。

三、积累策略性数学教学经验的途径

我们可以将教学设计策略界定为在教学目标确定以后，根据已定的教学任务和学生学习这个任务时的心理特征与心理倾向性等发生认识作用的特点，有针对性地选择与组合相关的教学内容、教学组织形式、教学方法和技术，形成具有效率意义的特定教学方案与执行此方案的行动方针与行为方式。数学教学策略的选择行为不是教师主观随意的，而是指向一定目标的。业已作出的选择行为在具体的情境中会遇到意外的偶然事件，为了达到特定的目标，教师个体需要对选择行为进行反省，继而作出再选择，直到达到设定好的教学目标为止。

数学教学策略的具体形式很多，它也可以分为使用语言文字传达的教学策略与不能使用语言文字表达的默会性教学策略。关于可以使用文字语言传达的主要具体策略有：创设问题情境策略、先行组织者策略、最近发展区策略与悬置问题结论策略，等等。不论对于可以表达的数学教学策略，还是默会的数学教学策略，数学教师形成这两种（特别是默会的）教学策略的心理过程，主要是通过数学教学策略性经验积累实现的。需要教师认真地进行教材分析，发现具体数学知识点所蕴含的具体特点，从而确定学生发生具有如此特点的数学知识点认识的心理活动过程，选择具体教学策略来驾驭具有这种特点的知识点与学生发生认识的心理活动特点，从而形成有效的课堂教学活动。

对于可以传达的教学策略，积累策略性教学经验的过程大致要经历：其一，策略的萌生，针对具体知识点的特点与学生发生这种具体特点的数学知识点的心理活动特点，在教学预设中极具针对性地萌生相关的教学策略；其二，策略的优化，将这种萌生的具体教学策略在具体的课堂教学活动中加以检验、修正与优化，并且尽可能地内化到教师的意识结构中去；其三，策略的定型，将优化好了的教学策略加以语言表述，从而进入教师的智囊，为这种教学策略的迁移奠定基础。对于难以表达的教学策略，也需要一个这样的积累过程，才能自觉迁移到教师自己将来的教学活动中去。

为了探讨积累策略性数学教学经验的实践过程，这里笔者使用“两角差的余弦公式”，即cos(αβ)=cosαcosβ+sinαsinβ这个知识点，在教学准备工作中，运用“最近发展区”这种可以表述的数学教学策略为例，说明数学教师通过教学准备活动及其体验过程，积累策略性数学教学经验的途径。首先实录笔者关于这个知识点的课堂教学活动关键环节（其中的省略号表示学生思维在这个地方产生中断）：

师（选择“最近发展区”策略，进行相关前在数学知识的复习）cosβ②；cosβ④。大家从这四个诱导公式中，可以提出某些一般性问题吗？

设计意图：这个公式⑤就是前述的四个诱导公式的“最近发展区”，而前述四个诱导公式就是公式⑤的“根据地”。“最近发展区”策略的实现，重在使用数学知识的结构性。这是笔者通过启发学生自己的审视信息，从中提出“结构性初始问题”的手段，这比笔者自己直接地向学生提出“初始问题”的教学途径要好得多，因为，学生特别关注自己所提出的问题在课堂学习过程中的实现过程，将会全神贯注地跟踪解决这个问题的过程。

师：那么，关于cos(α-β)⑤，可能存在一个怎样的表达式呢？

生：……

师：大家仔细考察前述的诱导公式①②③④与所要求的表达式⑤具有怎样的关系？

生2：可以说明表达式⑤的结构中一定含有s inβ与cos β这样的两个元素。

师：我也是这样想的。那么，除了含有s inβ与cos β外，表达式⑤的结构中还可能含有其他元素吗？

生3：应该还含有s inα与cos α这样的两个元素。

师：为什么？

生 4：因为，在⑤式中，由于 cos(α -β)=cos [ -(β-α)=cos(β-α)]从而，知α与β具有对等性，于是，只要取，就一定可以得到生3所获得的相似结果，只不过将这些结果中的α换成了β。

师：好！由此分析发现，在表达式⑤的结构中，一定包含有s inα,cos α，s inβ与cos β这些形式的元素。我们现在考察，它们可能构成怎样的一种运算结构形式呢？

生5：我经过赋值法发现，这四者完全相加或相乘都不行，同时，它们之间不可能形成相除的结果，因此，它的运算结构应该是其中的部分元素相乘，然后，将相乘的结果再相加。

师：你说的我还不大明白，哪个同学可否更加具体地解释一下？

生6：我首先注意研究①式，如果上面讨论的结果正确的话，那么，就知道的表达式中也应该含有，s in β,cos这样的四个元素的一种组合，而s inβ①就意味着……

师：生6果然验证了生7的发现是正确的，完全相加或相乘，在其结论的组成结构要素中，要么结论是0，要么必然出现1作为它的一项，都不是s inβ这样的结果。现在的问题是，由①式知，需要探讨的是s inβ,cos β,1与0这四个元素经过怎样的组合形成了s inβ这样的结论？

生8：我对①式进行探查，发现cos(π-β)=cos π cos β +s in π s in β⑦也是应该成立的。

师：这些都说明了什么？

生9：将⑥⑦两个式子一般化，就可以得到cos(α -β )=cos α cos β +s in α s in β⑧。

师：式子⑧是正确的吗？（转入证明过程略）

这种采用“最近发展区”策略的实现，笔者从中体验到了这种策略性数学教学经验，它的要点就是充分利用数学知识的结构性（这种结构性从现象上往往是难以发现的，它要求教师对于知识结构所存有的环节进行细心的研磨与考察，才有可能认识到），寻获体现这种数学结构具体环节的教学素材，启发（至少是教学自己向）学生提出“结构性初始问题”。[3]这个“初始问题”就大致地规划好了这节课的基调及其思维运动的轨迹。笔者经历了萌生运用这种“最近发展区”策略的体验，这整个的策略过程就作为经验持存于自己的意识结构，在将来处理相关的数学知识点的教学时，就会自觉或不自觉地考虑使用这一策略，这就是策略性数学教学经验的积累。

四、积累迁移性数学教学经验的途径

学习中的迁移是一个心理学的概念，它指的是一种材料的学习活动对另一种材料的学习活动的影响，或从一种学科内容习得时所获致的经验对完成其他学科内容活动经验的影响。笔者于1983年中师毕业后主要从事小学语文教学对于教学经验的迁移及其作用具有切身体验。在学习语文教学活动中，第一要务就是学习透过小学生的语文现实理解语文的教学素材，在教学时，要求换成儿童的语言才能很好地实现语文教学的有效性，这练就了笔者与十岁左右的儿童进行“心理换位”的能力，形成了教学经验。[4]在进入初中数学教学时，这种能力与经验很好地迁移了过来，为理解初中学生学习数学的心理活动奠定了非常好的基础。

进入初中进行数学教学活动时，笔者花了大量的时间进行相关的阅读。首先，窥破了“发现法”教学的环节及其形成的途径；其次，掌握了“结构教学法”的结构；再次，习得了一系列的教学（如本文所提到的这些比较重要的）策略。这些都作为经验进入了笔者的智囊。进入高中数学教学时，虽然笔者在做学生的时候对这些高中数学知识点还几乎没有学习过，但是却信心满满地相信自己一定能够胜任高中数学教学工作。这就是因为自己所积累起来的那些教学经验是可以迁移的，从而认识到，只要研究好高中数学知识点，教学活动是不存在问题的，使从初中数学教师向高中数学教师的过渡水到渠成。

两年小学语文教学活动经验起到了特别重要的作用，使笔者认识到将教师的语言儿童化，从而适应年幼学生的认知方式与话语水平组织教学活动非常重要。这种历练，生成了有价值的教学观念，为中学数学教学积累了有益的经验，并打下了扎实的教学基本功。教学有效性的首要标志，是教师将要传授的知识转化为学生易于理解的语言在课堂上与学生进行讨论，只有如此，才能有效地刺激学生的思维活动，才能将思维动机聚焦于那个知识所形成的问题，才能激发学生的数学学习兴趣、产生数学学习动机，基于此，实现一系列的数学教学目标。[5]

迁移性教学经验更多地是默会的、难于传达的，因此，这种迁移性教学经验，更需要我们（不只是数学）教师自己在进行教学准备或将准备的内容在课堂教学中实施时，去揣摩、去体会，从现场中去吸收，融入自己的教学经验系统，通过数学教师自己的反思活动，这种经验系统地为迁移到新的教学环境中去创造好了条件。

五、结语

数学教师教学专业成长需要汲取各个方面的营养，这些营养的来源不外乎两个重要途径：其一，理论学习，从而接受时代优势的教学理念；其二，创新实践，将理论学习所获致的教学理念运用于自己的教学实践，从中形成教学经验。数学教学经验包括数学教育教学活动的方方面面，可以说是一切经历与体验的总和，其中有些是可以表述的，有些是默会的，可表达的能够通过阅读或听讲加以吸收，默会的一定要通过身教，即多听具有丰富数学教学经验的老师的课加以体会吸收。这是提高数学教师教学水平绕不过去的途径，是数学教师专业成长中非常重要的一个环节。▲