“一元一次方程的应用（第3课时）”教学及其分析

筅浙江省宁波市海曙区古林镇中学 邬云德

一、背景介绍

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“课标”）倡导过程教育，以促进学生发展数学学科核心素养.在以浙教版《数学》七年级上册第五章第4节“一元一次方程的应用（第3课时）”为载体的“多人同课异构”的研修活动中发现，课堂教学普遍存在过程教育不到位的问题，究其原因，主要是教师对问题解决的认知过程的理解存在偏差.鉴于此，笔者在重复观摩与反思的基础上，对该课的教学进行重建，改进后的教学过程取得了较好的教学效果.现将其整理出来，以飨读者.

二、教学实录

环节1：经历回顾与提出问题的过程——明确研究的问题

师：上几节课我们探索了一元一次方程的实际应用，分析并解决了有关“营销问题”“行程问题”“几何问题”等，对用一元一次方程解决有关问题的过程和一元一次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型有了初步的感悟.用一元一次方程还能解决哪些实际问题？本节课我们继续探索一元一次方程的实际应用.（揭示课题）

环节2：探索一元一次方程的实际应用——分析并解决有关“调配问题”

例1学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人.现调20人去支援，使在甲处植树的人数是在乙处植树人数的2倍，问：应调往甲、乙两处各多少人？

师：问题中含有哪些数量？哪些是已知的？哪些是未知的？哪些是所求的？（提示：必要时，可用表格来整理）

生1：问题中含有的数量有甲处原有人数、甲处增加人数、甲处增加后人数、乙处原有人数、乙处增加人数、乙处增加后人数、去支援人数，其中已知量是甲处原有人数（23人）、乙处原有人数（17人）、去支援人数（共20人），未知量是甲处增加人数、乙处增加人数、甲处增加后人数、乙处增加后人数，所求量是甲处增加人数、乙处增加人数.

师：很好！用分类方法来提取问题中的数量信息.问题中有哪些含有未知量的等量关系？

生2：甲处增加人数+乙处增加人数=20；甲处增加后人数=乙处增加后人数×2.

师：不错！选用哪个含有未知量的等量关系来列方程？哪个未知数用字母表示有哪些可行的方案？哪个方案比较合适？

生3：可用“甲处增加后人数=乙处增加后人数×2”来列方程，甲处增加人数用字母表示（或乙处增加人数用字母表示）；也可用“甲处增加人数+乙处增加人数=20”来列方程，乙处增加后人数用字母表示（或甲处增加后人数用字母表示）.第一种方案比较合适.

师：有道理.根据你确定的方案，可列出怎样的方程？

生3：设甲处增加人数为x，则可列出方程23+x=2（17+20-x）.

师：好的.请大家解这个方程，并通过检验回答实际问题.

……

师：这样我们用一元一次方程解决了这个问题.若选其他方案，则可列出怎样的方程？

生4：设乙处增加人数为x，则可列出方程23+20-x=2（17+x）.

生5：设乙处增加后人数为x，则可列出方程2x-23+x-17=20.

师：若改为“甲处植树的有a人，乙处植树的有b人.现调c人去支援，使在甲处植树的人数是在乙处植树人数的m倍，问：应调往甲、乙两处各多少人”，则可列出怎样的方程？

生7：设甲处增加人数为x，则可列出方程a+x=m（b+c-x）.

……

师：由此可知，每一个含有未知量的等量关系都可以用来列方程，设未知数也有多种方法，但要使所列方程比较合适，需要经历分析与决策的过程.请大家课后再提出几个具体的有意义的“调配问题”.

环节3：探索一元一次方程的实际应用——分析并解决有关“工程问题”

例2甲每天生产某种零件80个，甲生产3天后，乙也加入生产同一种零件，再经过5天，两人共生产这种零件940个.问：乙每天生产这种零件多少个？

师：请大家依次思考并回答下列问题（允许小组合作）：

（2）选用哪个含有未知量的等量关系来列方程？哪个未知数用字母表示比较合适？

（3）根据你确定的方案，可列出怎样的方程？

师：（待学生思考完毕）谁来回答问题（1）？

生8：问题中含有的数量有甲每天生产零件数、甲生产天数、甲生产零件总数、乙每天生产零件数、乙生产天数、乙生产零件总数、两人共生产零件总数，其中已知量是甲每天生产零件80个、甲生产了8天、甲生产零件总数8×80=640（个）、乙生产了5天、两人共生产零件940个，未知量是乙每天生产零件数、乙生产零件总数，所求量是乙每天生产零件数.等量关系有640+乙生产零件总数=940，乙每天生产零件数×5=乙生产零件总数.

师：好的.谁来回答问题（2）？

生9：用“640+乙生产零件总数=940”列方程，乙每天生产零件数用字母表示比较合适.

每次出远门，除了全家人的生活用品，光药品和器械就有百儿八十种。小孙女刚满两岁，也加入了自驾游的队伍，所以除了照顾两位老人，还有一个小宝贝需要照顾。而这一大家子人都有各自明确的分工，无论出去多少天，一家人都能有条不紊，事无巨细安排得妥妥当当：杨丽敏老伴儿李慧仁负责记账和看管物品；杨丽敏管吃喝拉撒、安排物资等生活上的事；儿子是总指挥，除了开车，还要负责全体人员的身心健康；媳妇负责财务支出和照顾老人孩子；大孙女负责看地图指路、哄妹妹玩、组织大家路上的游戏、找旅馆以及景点的解说。

师：有道理.请你继续回答问题（3）.

生9：设乙每天生产零件x个，则可列出方程640+5x=940.

师：好的.请大家完整地把解题过程写出来.

……

师：（待学生完成任务）还有其他列方程的方案吗？若有，请根据该方案列出方程.

生10：用“640+乙生产零件总数=940”列方程，乙生产零件总数用字母表示.设乙生产零件总数为y，则可列出方程640+y=940.

生11：用“乙每天生产零件个数×5=乙生产零件总数”列方程，乙每天生产零件数用字母表示.设乙每天生产零件x个，则可列出方程5x=940-640.

师：若问题改为“甲、乙两人同时生产某种零件，6天可以完成任务，如果甲单独生产，10天可以完成任务，问：乙单独生产几天可以完成任务”，则可列出怎样的方程？

师：这进一步说明列方程往往有多种方案，要使所列的方程比较合适，就要经历在分析基础上选择性决策的过程.工程问题中的工作总量可以看作1份，其基本数量关系为“工作效率×工作时间=工作总量”.能给方程×6=1”赋予不同的意义吗？请大家课后思考.提出一个问题为合格，提出两个问题为良好，能至少提出三个问题为优秀.

环节4：探索一元一次方程的实际应用——分析并解决有关“利润问题”

例3某商店有甲、乙两种不同型号的计算器，售价都是64元，卖出甲种计算器商店盈利为进货价的60%，卖出乙种计算器商店亏损为进货价的20%.若卖出这两种计算器各1台，这家商店的盈亏情况如何？

师：问题中有哪些已知量？有哪些未知量？哪些量是所求的？

生14：已知量有甲种计算器的售价、盈利率、卖出台数及乙种计算器的售价、亏损率、卖出台数，未知量有甲种计算器的进价、卖出1台甲种计算器的盈利数量、乙种计算器的进价、卖出1台乙种计算器的亏损数量及卖出甲和乙两种计算器各1台的盈或亏的数量，所求量是卖出甲和乙两种计算器各1台的盈或亏的数量.

师：好的.问题中有哪些含有未知量的等量关系？

生15：64-甲种计算器的进价=甲种计算器的进价×60%；64-乙种计算器的进价=-乙种计算器的进价×20%.

师：根据等量关系可列出怎样的方程？

生16：设甲种计算器的进价为x元，则可列出方程64-x=60%x；设乙种计算器的进价为y元，则可列出方程64-y=-20%y.

师：这两个方程的解分别是什么？实际问题的答案是什么？

生17：由64-x=60%x，解得x=40；由64-y=-20%y，解得y=80.因为64+64-40-80=8，所以商店卖出这两种计算器各1台可盈利8元.

师：好的.商品利润问题的数量关系为“商品利润=商品售价-商品进价”和“商品的利润率=”.若问题改为“某市国内生产总值每年以10%的速度增长，如果第1年该市国内生产总值为a，那么第2年该市国内生产总值是多少”，则可列出怎样的方程？

生18：设第二年该市国内生产总值为y，则a（1+10%）=y.

师：不错.能给方程“64-x=60%x”赋予不同的意义吗？请大家课后思考.提出一个问题为合格，提出两个问题为良好，能至少提出三个问题为优秀.

接下来，要求学生完成课本中的练习题，并待学生完成任务后进行交互反馈与评价.

环节5：参与回顾与思考的活动——合作进行反思与总结

师：本节课研究了哪些内容？

生19：本节课研究了用一元一次方程解决有关“调配问题”“工程问题”“利润问题”.

师：大家在学习过程中有何感触？

生20：用一元一次方程解决有关问题要抓住其基本数量.

生21：每一个含有未知量的等量关系都可以用来列方程.

生22：要使所列的方程比较合适，需要经历分析与决策的过程.

师：好的.上述问题中的一些基本事实和列方程的经验对后继学习有指导作用.

三、教学分析

“一元一次方程的应用（第3课时）”是学生体会用方程解决实际问题的过程和方程是刻画现实世界数量关系的有效模型的继续.“调配问题”“工程问题”“利润问题”是方程实际应用中的典型问题，问题中含有的基本数量关系是需要学生掌握的基础知识，根据数量关系设未知数、列方程是需要学生掌握的基本技能，从具体到抽象和从特殊到一般的研究方法具有普适性.用一元一次方程解决实际问题的教学性质是问题解决教学，它要遵循用方程（组）解决实际问题教学的基本规范：“提出问题（有代表性的实际问题）→审题→分析→设未知数、列方程→解方程→检验→作答→反思（解决问题之后的回顾与思考）.”［1］实践告诉我们，用一元一次方程解决有关问题的过程，能发展学生分析问题与解决问题的能力，其所蕴含的基本数量关系、抽象思想、模型化思想及列方程经验等，对发展学生的智力有积极影响.

“课标”（内容标准）对一元一次方程的实际应用提出的教学要求可以概括为“会用一元一次方程解决简单的实际问题，体会一元一次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型”.［2］在教师适度引导下，估计的学生会根据实际问题的条件列出方程.但估计的学生不会根据数量关系列出多种形式的方程，对方程是刻画现实世界数量关系的有效模型也达不到体会的程度.目前在用方程解决实际问题的教学中，教师普遍采用浙教版教材提供的认知过程观：“审题（分析题意，找出题中的数量及其关系）→设元（选择一个适当的未知数用字母来表示）→列方程（根据等量关系列出方程）→解方程（求出未知数的值）→检验（检查求得的值是否正确和符合实际情况，并写出答案）”.［3］事实上，这样的教学隐去了列方程之前的分析与决策的过程和解决问题之后的反思过程，并且选哪个未知数用字母表示带有盲目性，这样所列的方程不一定合适，如果审题时未知量有遗漏，也得不到相应的方程，这样的教学失去了发展学生能力和个性及体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型的机会，这种尝试性列方程的方法也不利于学生积淀经验，这可能是导致学生列方程困难的根本原因.

本课例改变了传统的用方程解决实际问题的教学过程，设计了“审题（审已知量、未知量、所求量，审含有未知量的等量关系）→分析（选用哪个含有未知量的等量关系来列方程和哪个未知数用字母表示比较合适）→设未知数、列方程（根据确定的方案用字母来表示未知数并列出方程）→解方程（用适当的方法解所列的方程，求出未知数的值）→检验（检查求得的值是否正确、是否符合实际情况）→作答（用方程的解或提供的方案回答实际问题）→反思（能否列出其他形式的方程？问题能否进一步引申、拓展？所列方程能否赋予不同的意义）”的教学过程.这里有列方程之前分析与决策的过程和解决问题之后的反思过程，并且选哪个未知数用字母表示有指向性，它依赖于选用的含有未知量的等量关系，使得列方程有规律可循，从而有助于学生积淀经验、发展数学学科核心素养.

参与研修的教师普遍认为，本课例遵循了问题解决教学的基本规范，体现了过程教育和以学为中心的思想，能实现“会用列表法、图示法等找出‘调配问题’‘工程问题’‘利润问题’中的数量关系，会根据数量关系列出合适的一元一次方程，会解所列的一元一次方程，能积淀列方程的经验，能体会用方程解决实际问题的思想方法和一元一次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型”的教学目标，特别是列方程之前的分析与决策及解决问题之后的反思，能使学生对有关问题及解决方法的认识达到一定的“深度”.

因此，列方程的教学要改变传统的思维方式，以使学生列方程有规律可循.初步的理论求证与实践验证表明，本课例提供的列方程经验对剖解列方程难点有积极影响.