是循环论证吗？

安徽省安庆市宿松县第二中学 (邮编：246500)

某教辅资料中有一题：用函数的单调性定义证明：a>1时，y=ax是增函数.

在使用该资料的过程中，恰好碰到两位年轻教师正在讨论该题的参考答案.A教师认为参考答案没有问题，B教师认为参考答案有问题，问题出在参考答案使用了循环论证.并由此认为此题不适合于高一学生做(认为需要用导数证明)，因此叫学生跳过此题不做.笔者看完参考答案后，认为两年轻教师的看法均有不当之处，为了说明问题，现摘录该题所给的参考答案如下：

证明设x1、x2∈R，且x10)，

则有ax2-ax1=ax1+h-ax1=ax1(ah-1)，

因为a>1，h>0，所以ax1>0，ah>1，

故ax2-ax1>0，即ax1

故y=ax(a>1)为R上的增函数.

A、B两位教师讨论的焦点在由“a>1,h>0”得出“ah>1”的理由上.

B教师之所以认为是循环论证，因为B教师认为参考答案是这样得来的：因为a>1，所以ax是增函数，又因为h>0,所以ah>a0，即ah>1.所以是在用指数函数的单调性证明指数函数的单调性，当然是循环论证.

A教师认为结论ah>1是利用指数函数的图象获得的.参考答案正确.

为了搞清A、B两位教师的看法到底有没有问题，先得给同学们交待一下什么是循环论证？

(1)所谓循环论证：是实质谬误的一种，指把尚未证明或解决的问题放在前提中，如果你承认了前提，就不得不承认结论了，用以回避主题.两个结论互为基础.

(2)所谓循环论证是用来证明论题的论据本身的真实性要依靠论题来证明的逻辑错误.

我们把参考答案按B教师的理解整理一下思路过程即：为什么y=ax(a>1)是增函数？因为有ah>1(a>1,h>0).为什么ah>1，(a>1,h>0)？因为y=ax是增函数.简言之要证y=ax(a>1)是增函数，因为y=ax(a>1)是增函数.如此理解参考答案，其确实犯了循环论证的错误！

那么A教师认为ah>1(a>1,h>0)这个结论是根据指数函数y=ax(a>1)的图象获得的，并非由y=ax(a>1)的单调性获得的，所以参考答案没犯循环论证的错误.这也有问题吗？这里只需向A教师提一个问题：y=ax(a>1)的图象你是如何画出的？为什么这样画？显然，之所以这样连线画图正是利用了y=ax(a>1)的单调性.因此，A教师只是摆出了一个幌子.这样按A教师的理解同样可得参考答案还是使用了循环论证(A教师更应加强自己的业务学习).

B教师认为的此题不适于高一的学生做，y=ax(a>1)的单调性只能用后面要学的导数来证明.说明B教师也没认清导数法证明函数的单调性的本质就是根据函数单调性定义来判断的！如果定义都不能证明y=ax(a>1)的单调性，别的证明方法还有基础吗？

可以肯定用函数的单调性定义一定能证明：a>1时，y=ax是增函数.之所以出现A、B两教师的状况，可以肯定是A、B两位老师的理解出现了偏差！而不是解答错误！

“因为a>1,h>0，所以ah>1”真的只能由y=ax(a>1)的单调性获得吗？可不可以有别的理解？比如，这样理解：因为a>1,h>0,所以ah>1h=1.此处是利用不等式的性质而得.或者利用幂函数的单调性理解：“y=xh(h>0)是增函数，又因为a>1,所以ah>1h=1”.这两种理解都可以呀！这样理解的话，参考答案不就没有问题吗？又何谈犯了循环论证的错误？

因此，该题学生(高一)还是可以做的，参考答案也没有问题.所以同学们(含教师)平时解题时不能随便就怀疑题错了或解答错了，首先应该怀疑自己对题意还没理解透彻，应该对解答再探究一下或与同学老师再交流一下.总之，凡事都别轻易下结论为好.