数学问题解答

2018年11月号问题解答

(解答由问题提供人给出)

(浙江台州市洪家高级中学 邬天泉 318015)

①

当且仅当u=λ-1时①式取等号；

②

2452如图，△ABC的内切圆与边BC，CA，AB分别切于点D，E，F，线段ED和AB延长后交于点M，线段FD和AC延长后交于点N，点P，Q分别为线段FM，EN的中点，点X，Y分别在边AB，AC上且满足XB=YC=BC，证明：XY∥PQ.

(河南省辉县市一中 贺基军 453600)

证明引理：如果平面上四点G，H，V，W满足GV2-HV2=GW2-HW2，那么GH⊥VW.

用解析法给出引理证明：以点G为原点建立直角坐标系，使点H不在坐标轴上.设各点的坐标为H(x1，y1)，V(x2，y2)，W(x3，y3)，其中x1≠0，y1≠0.

因GV2-HV2=GW2-HW2，

即y1(y3-y2)=-x1(x3-x2).

如果x3-x2= 0，则y3-y2= 0，

此时V，W重合为一点，这与已知条件不符，

因此x3-x2≠0.

在原题中(如图)，根据正弦定理得

因∠BDM=∠CDE=∠CED=180°-∠AEM，

故sin∠BDM=sin∠AEM，

将BF=BD，AF=AE代入上式得

⟹PB·PA=PF2.

设△ABC的外接圆为圆O，内切圆为圆I，它们的半径分别为R，r.连接OI及PO，PI，QO，QI.

根据切割线定理得

PO2-R2=(PO-R)(PO+R)=PB·PA，

由PB·PA=PF2得PO2=PF2+R2，

同理QO2=QE2+R2.

因此PO2-QO2=PF2-QE2

=(PF2+r2)-(QE2+r2)

=PI2-QI2，

根据引理得PQ⊥OI.

连接XO，XI，YO，YI及OB，OC，IB，IC.

根据余弦定理得

XO2=XB2+OB2-2XB·OBcos∠XBO，

YO2=YC2+OC2-2YC·OCcos∠YCO.

因XB=YC=BC，OB=OC，

故

XO2-YO2=2BC(OCcos∠YCO-OBcos∠XBO)

在△XIB中，再由余弦定理得

XI2-BI2=BX2-2BI·BXcos∠IBX，

由∠YCI=∠BCI，YC=BC得YI=BI.

因此XI2-YI2=XI2-BI2

=BX2-2BI·BXcos∠IBX

=BC(BC-2BIcos∠IBX)

=BC(BC-2BF)

=BC[BC-(AB+BC-AC)]

=BC(AC-AB)=XO2-YO2，

根据引理得XY⊥OI，

由PQ⊥OI得XY∥PQ.证毕.

2453已知a、b、c为正实数，试证：

(*)

(浙江湖州市双林中学 李建潮 313012)

证明记

∑(2a+b)(2a+c)(b+c)2=(2a+b)(2a+c)(b+c)2+(2b+c)(2b+a)·(c+a)2+(2c+a)·(2c+b)(a+b)2．

则由柯西不等式

≥(x1y1+x2y2+x3y3)2，

有

≥∑(b+c)2=4∑a2，

①

而

(2a+b)(2a+c)(b+c)2

=(2a+b)(b+c)·(2a+c)(b+c)

=2∑bc+b(b-c)2∑bc-c(b-c)

=4(∑bc)2+2(b-c)2∑bc-bc(b-c)2

≤2∑bc2∑bc+(b-c)2，

从而

∑(2a+b)(2a+c)(b+c)2

≤2∑bc6∑bc+∑(b-c)2

=2∑bc(2∑a2+4∑bc)

=4∑a2∑bc，

②

联立①与②二式，有

即

(*)

即为所证.

(安康学院数学与统计学院 赵临龙 725000)

对于直线PAB，由直线方程

(1)

(2)

得到

(3)

当点P在椭圆Γ外部时，t1t2>0，则

(4)

当点P在椭圆Γ内部时，t1t2<0，则

(5)

于是，对于不在椭圆Γ上的点P，有

(6)

同理，对于不在椭圆Γ上的点P，直线PCD有结论

(7)

(8)

此时，在方程(3)中，令x0=0,y0=0，

即倾斜角为α的直径EOF，满足关系

(9)

即直径EOF长度为

(10)

同理，求得直径GOH长度为

(11)

(12)

(江苏省启东市汇龙中学 倪红林 226200)

解因为a1=1，a2=1，

所以

所以

由a1=a2=1，an+2=an+1+an,n∈N*，

所以

所以Tn+2-2Tn+1+Tn=Tn+1，

即Tn+2=3Tn+1-Tn，(n∈N*)

因此Tn+2除以8的余数,完全由Tn+1，Tn除以8的余数确定，

又T1=1，T2=3，

所以T3=3T2-T1=9-1=8，

T4=3T3-T2=24-3=21，

T5=3T4-T3=63-8=55，

T6=3T5-T4=165-21=144，

T7=3T6-T5=432-55=377，

T8=3T7-T6=1131-144=987，

T9=3T8-T7=2961-377=2584，

由以上计算及Tn+2=3Tn+1-Tn,n∈N*可知,数列Tn各项除以8的余数依次是1,3,0,5,7,0,1,3,0,5,7,0,…，它是一个以6为周期的数列，从而Tn除以8的余数为0的正整数n，等价于n除以3的余数为0的正整数n，

所以n=3k,k∈N*，

即所求集合为: {n|n=3k,k∈N*}

2018年12号月问题

(来稿请注明出处——编者)

2456已知a1,a2,…,an>0(n≥2)，求证：

(浙江省海盐县元济高级中学 张艳宗 314300；北京航空航天大学图书馆 宋庆 100191)

2457如图，E、F分别在△ABC的AB、AC上，且EF∥BC，过BC中点D作DG⊥BC交△ABC的外接圆O于G和W，交EF于K，△BEK的外接圆交⊙O于H，GH交EF于M，求证：A、M、W三点共线．

(江西师范高等专科学校 王建荣 335000)

2458在△ABC中,求证

(天津水运高级技工学校 黄兆麟 300456)

2459设点I,Ia,Ib,Ic分别为△ABC的内心和旁心，R为其外接圆的半径，证明：6R≥IIa+IIb+IIc.

(安徽省枞阳县宏实中学 江保兵 246700)

2460在三角形ABC中，记BC=a,CA=b,AB=c，n∈N+且n≥2，0<λ≤1,

(安徽省岳西中学 储百六 246600)