探寻问题的本质 绽放别样的解法——一道高考试题的解法探究与思考

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(花都区第二中学,广东 广州 510820)

1 题目再现

( )

(2018年全国数学高考卷Ⅱ理科试题第12题)

考点分析该题主要考查了椭圆的离心率．而离心率历来是圆锥曲线的重点考查对象，也一直是高考命题者在命制圆锥曲线试题时的第一视角．此题涉及4个点(两个焦点、一个顶点及点P)、3个量(a,b,c)、1条直线AP和1个特殊三角形．试题的题干通俗易懂，简洁明了，试题的题型和背景熟悉而常见，有着“起点低，入口宽”的特色．

2 思路探究及解答探究

1)题目的已知条件是什么？结论是什么？未知量是什么？用自己的语言表述.

直线PA过点A且它的斜率已知，它的直线方程如何表示；△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，结合图形分析确认哪两条边相等，还隐含了什么信息；利用椭圆性质，哪些边的长度用椭圆的基本量a,c表示，离心率又是如何表示等.

2)试题的突破口及解题思路:破解本题的关键是点P.方法1：联立方程组，利用方程组求出点P的坐标；方法2：利用参数方程的几何意义求出点P坐标；方法3：作辅助线确定点P的位置及坐标等.

3)思维障碍:题设中没有给出各边长度，只是给出了椭圆的两个焦点，不少学生自然联想到利用椭圆的定义求解，从而造成了思维上的定势．然而问题的关键是“点P不在椭圆上”，不少学生一下子懵了，从而产生思维障碍，且运算繁杂，只能雾里看花，望题兴叹！

图1

解法1(利用平面几何性质和参数方程)依题意可知点A(-a,0)，点F2(c,0),由∠F1F2P=120°,过点P作PM⊥x轴于点M(如图1)，则

∠PF2M=60°,

从而

设PF2=t,则直线PF2的参数方程为

(1)

因为△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°,所以

PF2=F1F2=2c,

点评利用平面几何性质，巧妙运用直线的参数方程求出点P的坐标，由点A坐标和斜率k列出a与c的关系式，从而求得椭圆的离心率．此方法简单自然，思路清晰，运算量小，让人拍案叫好！

因为△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°,所以

PF2=F1F2=2c,

从而x=c.在Rt△PAM中,

从而

解得

AM=6x,

a=OA=AM-F2M-OF2=4x,

于是

故选D．

点评从图形直观出发，借助椭圆的几何性质，作一条辅助线“高”，一方面确定点P的位置及坐标，利用斜率可列出a与c的关系式求出离心率(详见解法1)；另一方面，运用正切函数的定义及直角三角形的边角关系，回避了求点P的坐标及直线AP方程、直线PF2方程的繁琐，此方法快捷、简便．

(2)

PF2=F1F2=2c,

即

化简得x2-2cx=0.又x≠0，解得

x=2c,

(3)

点评由已知条件出发，可知点A和点F2的坐标，分别求出直线AP和直线PF2的方程，通过列方程组求出点P的坐标，再利用椭圆的几何性质和题目的已知条件，转化为关于a与c的关系式，即可求得椭圆的离心率．此方法自然，但运算繁杂，需要学生具备较高的运算能力．

解法4(利用椭圆的几何性质和正弦定理)如图1，由∠F1F2P=120°,可得∠PF2M=60°,从而

于是

在△PAF2中,

即

点评利用两直线的斜率可求出两直线夹角的正切，转化为△PAF2的边角问题，再用三角形的正弦定理及椭圆的几何性质，列出关于a与c的关系式，可求得椭圆的离心率．

在△PAF2中,∠F1F2P=120°,AF2=a+c,PF2=2c,从而

a2+4ac+7c2.

由正弦定理得

从而

即

化简得

a2+4ac-32c2=0,

3 教学反思

3.1 优化题设条件

改变题设条件1点P不在椭圆上，△PF1F2为“等腰三角形”改为“等边三角形”，其他条件和结论不变，则上述解法1～5都适合.

改变题设条件2该曲线不是椭圆，改为双曲线，其他条件和结论基本不变.此时，利用直线参数方程会比较简便.

3.2 优化题目结论

将题设条件中椭圆改为双曲线，其他条件不变，将题目结论“求C的离心率为”改为“求C的渐近线方程”.

4 后记

在课堂教学中，重视解题方法的同时也要特别重视运算．对学生解题过程中的运算，教师可通过合理的分析和调控，改变学生“怕算”的心理，使学生养成良好的解题习惯．其次，就是审题．要深刻挖掘题设条件的内涵和外延，选准解题的突破口，克服定势心理，做到“知其所以然”．最后，学生还要细心观察，书写规范，养成严密的推理习惯，最大限度地提高解题能力．

纵观数学高考40年，经过多轮的教材教学改革，高考题型结构由原来的“3选2”变为“2选1”，其中删去的内容便是几何选讲内容．反观2018年数学高考试题发现，适度加强平面几何的教学对提高学生的解题能力大有帮助．总之，用平面几何的“形”渗透到解析几何的“数”，把数的抽象与形的直观有机结合起来，对“减少解题的运算量、优化解题过程”起到事半功倍的作用．这也是命题者最想看到的结果——数形结合．这才是几何的“味道”！