巧妙变角，求解三角函数的值

■刘长柏

三角函数的计算问题是高考的一个重要考点。对于角的计算问题，除了掌握和、差角及倍角公式之外，还要掌握一些必要的拆角、配角技巧，抓住题设与结论中角的差异，利用角的和、差、倍、半关系，化异角为同角，巧妙变角，这样可以简化三角函数的运算。拆角和配角体现了整体与局部之间的关系，是连接题设条件与待求结论的纽带，是三角函数求值的一种常用方法。下面就三角函数求值中的拆角、配角技巧进行举例分析，供大家学习与参考。

一、利用特殊角进行拆角

例1不查表求值

解：原式

评析：利用特殊角，达到角的变换，从而巧妙化简求值。将80°拆成60°+20°，看起来好像把问题复杂化了，但由于60°是特殊角，故实际上问题变得简单了。

跟踪练习1：求值

提示：原式

二、利用所求角与已知角的关系拆配

例2已知α为锐角，且求cosα的值。

解：由可得所以

评析：此类问题不宜对已知三角函数式进行展开，一般可根据具体角和抽象角的关系进行“拆角”，将所求角用已知角表示，灵活处理已知、未知的关系，沟通条件与结论中的角的差异。解题时，必须注意角的范围，适时地将角的范围尽可能地缩小。

跟踪练习2：已知均是锐角，求cosβ的值。

提示：由题设可得故cosβ=cos[（α+β）-α]=

三、利用所求角与已知角的关系，借助诱导公式变形拆配

例3已知求的值。

解：由可得因为可知是第四象限角，所以可得sinα=

评析：这类问题主要是寻找已知与未知间的联系点，这个联系点就是解题的切入点。本题将看成一个整体，则可转化为，这样问题就容易解决了。

跟踪练习3：已知求sin（α+β）的值。

提示：由可得所以故

四、利用倍、半角的关系，借助公式求值

例4已知函数+2 cos2x-1（x∈R）。

（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间上的最大值和最小值。

解：（1）由可得函数f（x）的最小正周期为π。因为f（x）=在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f（0）=1，所以函数f（x）在区间上的最大值为2，最小值为-1。

评析：本题主要考查二倍角的正余弦公式、两角和的正余弦公式的应用，考查分拆与整合的数学思想和运算能力。解答本题的关键是对cos 2x0的分拆与整合。

跟踪练习4：求函数y=sin2x+2 sinx·cosx+3 cos2x的最小正周期及最大值和最小值。

提示：y=sin2x+2 sinxcosx+3 cos2x=故此函数的最小正周期是π，最大值是最小值是

编者注：在利用两角和与差的正弦、余弦和正切公式时，不能机械地从表面上套公式，而要变通地从本质上使用公式。变角时，对角的分拆要尽可能化成同名、同角或特殊角的和与差，并且这两个角的正、余弦函数值和正切函数值是已知的或可求的。